Principio zero

Il principio zero della termodinamica dei buchi neri afferma che, in equilibrio termodinamico, esiste un parametro di temperatura Tcomune per l'intero sistema. La temperatura è di solito associata alla gravità superficiale $\kappa$dalla relazione:

$$T = \frac{\kappa}{2 \pi k} \; ,$$ (5.49)

 

dove:

$$\kappa = 8 \pi h \, \frac{\partial M}{\partial A} \; ,$$ (5.50)

 

e si dimostra che è costante sulla superficie dell'orizzonte degli eventi.

È immediato verificare che, per esempio, ancora nel caso di Schwarzschild, vale la relazione:

$$\kappa = \frac{h}{4M} \; ,$$

da cui si riottiene la (5.46).

È interessante notare che la temperatura di Hawking può essere calcolata anche nel formalismo delle funzioni termiche di Green [34], considerando la continuazione analitica euclidea al tempo immaginario $\tau = i\,t$. Infatti l'orizzonte dei buchi neri classici rappresenta una singolarità conica delle soluzioni delle equazioni di Einstein nella continuazione euclidea, come avviene per esempio nella metrica di Schwarzschild e in quella non estrema di Reissner-Nordström. Tale singolarità può essere rimossa se si attribuisce al tempo immaginario un certo periodo $\beta$:

$$\tau \to \tau + \beta \; .$$  

La configurazione non singolare può essere interpretata come contributo alla funzione di partizione, con periodo proporzionale all'inverso della temperatura che compare nella formula di Hawking:

$$\beta = \frac{2\pi}{\kappa} = \frac{1}{k} \, \frac{2 \pi k}{\kappa}= \frac{1}{kT} \; ,$$ (5.51)

 

dove $T = \frac{\kappa}{2 \pi k}$ è esattamente la temperatura di Hawking (5.46).

Tale conclusione è particolarmante importante in considerazione del fatto che, nella descrizione dei fenomeni di tunnelling mediati da istantoni gravitazionali, sono accettabili solo le soluzioni euclidee alle equazioni di campo che siano regolari senza bisogno di imporre condizioni di periodicità nella coordinata tempo immaginaria, in modo che l'istantone medî un processo tra due stati asintotici a temperatura nulla.

 
1999-03-18