L'impostazione classica:

Da Eulero a Wolfskehl

Lo stesso Fermat aveva fornito la base per studiare il problema in base 4. Posta l’ipotetica terna fermatiana come X₁, Y₁, Z₁ e analizzandone le proprietà, Fermat potè dimostrare che se esisteva questas soluzione ipotetica, allora avrebbe dovuto esserci una soluzione più piccola (X₂, Y₂, Z₂); questa a sua volta avrebbe genrato una terna più piccola e così via ad infinitum. Ma x, y, e z devono necessariamente essere numeri interi e perciò la scala discendente è impossibile perché deve esserci una possibile soluzione minima.

Euler, geniale matematico di Basilea nato nel 1707 (era già passato un secolo!!), aveva voluto applicare la sdiscesa infinita “brevettata” da Fermat per studiare il caso n=3. Eppure per far questo egli dovette stravolgere la matematica; sentì infatti la necessità di introdurre il concetto di numero immaginario, un’entità che era stata scoperta dai matematici europei nel sedicesimo secolo. Di qui sarebbe poi nato il concetto di piano immaginario. Ma Euler non riuscì a proseguire e, nonostante gli innumerevoli sforzi e le continue applicazioni, la dimostrazione non potè andare avanti.

La dimostrazione per n=4 era però necessariamente valida anche per tutti gli n multipli di 4 (infatti 4⁸ può anche essere scritto come 16⁴) e lo stesso poteva dirsi per n=3. Euler ebbe quindi la geniale intuizione di limitare lo studio di Fermat ai soli numeri primi, considerati i mattoni di tutta la matematica, visto che tutti gli altri numeri non sono che multipli più o meno complessi di questi. Ma i numeri primi, come del resto già dimostrato da Euclide, sono anch’essi infiniti e per questo il problema non era ancora aggirato.

Nel frattempo l’Accademia di Parigi aveva messo in palio il primo di una lunga serie di premi per chi avrebbe raccolto e risposto alla sfida lanciata da Fermat.

Sophie German, nata il 1° aprile 1776, sotto lo pseudonimo di Monsieur Le Blanc, aveva iniziato a mettere appunto tutte le tecniche matematiche dell’epoca ed era divenuta un’accanita ammiratrice dell’opera di Gauss, in particolare del suo capolavoro: Disquisitiones arithmeticae. Nel 1815 la Germain adottò una strategia nuova ed iniziò a lavorare su un cosiddetto “approccio generale” del problema di Fermat. Ella non voleva dimostrare un caso particolare, ma affermare qualcosa che valesse per molti casi contemporaneamente. Incentrò i suoi calcoli su un certo tipo di numeri primi p tale che anche q=2p + 1 fosse primo e dimostrò che con x, y, z non multipli di n il Teorema di Fermat era valido. Suoi colleghi in seguito avrebbbero dimostrato che la condizione di partenza era valida in tutti i casi.

Nel 1825 Gustav Lejeune Dirichlet e Adrien-Marie Legendre dimostrarono autonomamente ed indipendentemente che per il caso n=5 il Teorema di Fermat era valido. entrambi si basarono sul metodo teorizzato dalla Germain.

Quattordici anni più tardi Gabriel Lamè fece aggiunte ingegnose al metodo della Germain e riuscì a farlo funzionare anche per n=7 nonostante 2n+1=15, divisibile quest’ultimo per 3 e per 5

A seguito dei successi della Germain l’Accademia Francese delle Scienze offrì una serie di premi compresa una medaglia d’oro e tremila franchi, al matematico in grado di risolvere l’ultimo teorema di Fermat. Il 1° Marzo 1847 Lamè dichiarerà di aver scoperto un metodo che avrebbe dimostrato il famigerato teorema, ma che la prova, ancora incompleta, sarebbe stata esposta in maniera esauriente nelle successive settimane. Cauchy, a seguito dell’intervento di Lamè, dichiarò di aver lavorato con metodo analogo a quello di Lamè e di essere sul punto di pubblicare una dimostrazione completa. Nelle tre settimane successive i due, oramai in gara, pubblicarono interessanti dettagli dei loro lavori, ma il 24 Maggio Joseph Liouville lesse all’Accademia il contenuto di una lettera speditagli da Ernst Kummer.

Kummer, teorico dei numeri di primo grado, faceva notare che entrambe le dimostrazioni poggiavano su di un’interessante proprietà dei numeri nota come fattorizzazione unica. In accordo con essa ogni numero esiste soltanto come risultato di una sola possibile combinazione di numeri primi.

 Ad esempio il numero 18   può essere soltanto scritto come 2 x 3 x 3

 Tale proprietà, scoperta da Euclide nel IV secolo a. C. (libro XI degli Elementa) è oggi conosciuto come teorema fondamentale dell’aritmetica; Kummer fece notare che la fattorizzazione unica non doveva necessariamente funzionare anche con i numeri immaginari, che erano invece coinvolti in entrambe le dimostrazioni. Kummer dimostrò poi che si poteva fare a meno della fattorizzazione unica; eppure, nonostante ciò, restavano alcuni numeri, i cosiddetti primi anomali, che non potevano essere affrontati con questa tecnica, ma richiedevano particolari calcoli. Questi calco, avrebbero potuto sì dimostrare la validità del Teorema di Fermat anche in quei casi, ma i primi anomali sono anch’essi infiniti e quindi il problema resta irrisolto.

Le difficoltà sollevate da Kummer fecero diminuire per anni lì’interesse nei confronti del Teorema eppure, nel 1908, Paul Wolfskehl, industriale tedesco di Darmstadt,  l’avrebbe riportato in auge.

Sfogliando spassionatamente il famoso testo di Kummer, egli notò infatti l’assenza della dimostrazione riguardante l’impossibilità di estendere la fattorizzazione unica ai numeri immaginari e, dopo averla dimostrata, restò così attaccato al Teorema di Fermat, da lasciare una cospicua parte (100.000 marchi) al risolutore del secolare enigma.

I calcoli previsti da Kummer per i primi anomali erano di enorme portata. Dimitri Mirimanoff, dopo settimane di calcoli tuttavia, riuscì a dimostrare la validità di Fermat per quelli minori di 100 (37, 59, 67), ma nessuno se la sentiva di intraprendere il passo successivo: tra 100 e 1000. In seguito, grazie all’avvento dei computer, si riuscì ad arrivare prima a valori di n<500 poi a n compresi tra 1000 e 10.000; negli anni ’80 Samuel S. Wagstaff alzò il limite a 25.000 e, recentemente si è arrivati a 4.000.000.