L'impostazione moderna:

Da Wolfskehl a Wiles

Nei primi decenni del XX secolo Gödel aveva introdotto i due teoremi di indecidibilità e Cohen, nel tentativo di fornire prove a questi teoremi, analizzò alcuni teoremi indecidibili e tra questì comparve di nuovo l’Ultimo Teorema di Fermat.

Andrew Wiles nasceva nel 1953. All’età di 10 anni si imbattè nel The Last Problem di Eric Temple Bell e decise che avrebbe dimostrato l’Ultimo Teorema di Fermat. Laureatisi in matematica, sotto la guida esperta di John Coates, iniziò, per ottenere il dottorato, a studiare le equazioni ellittiche.

La definizione di “curve ellittiche” è quantomeno fuorviante; non si trata infatti né di ellissi, né tantomeno di curve nel senso normale della parola. Si tratta inveve di equazioni scritte nella forma

y²=x³+ax²+bx+c dove a,b,c sono numeri interi qualsiasi

Tali equazioni hanno ricevuto il nome di “curve ellittiche” perché in passato venivano utilizzate per calcolare i perimetri delle ellissi e delle lungherzze delle orbite planetarie. Si tratta in realtà, per particolari valori di a, b, e c, di dimostrare se le equazioni in esame sono possibili (ammettono cioè soluzioni), o no. I problemi però connessi sono così grandi e di difficile risoluzione che Wiles tentò di affrontare il problema ricorrendo alla matematica modulare (o a orologio) e associando a ciascuna equazione ellittica, una particolare E-Serie indicante tutte le soluzioni ricavabili con orologi a base diversa.

Per esempio la E-Seridie di          x³-x²=y²+y

Risulta:                   E₁=1, E₂=4, E₃=4, E₄=8, E₅=4, E₆=16, E₇=9, E₈=16, ...

Nel Settembre 1955 si tenne a Tokyo un convegno internazionale di matematica. In questa occasione Taniyama propose alcuni quesiti che volevano mettere in luce una curiosa relazione fra le forme modulari e le equazioni ellittiche.

L’anno precedente infatti Tanayama aveva conusciuto casualmente Goro Shimura (entrambi studenti di matematica all’Università di Tokyo). Frutto soltanto di una semplice ma geniale intuizione di Tanaiyama, questi due matematici iniziarono a mettere in relazione le M-Serie di diverse forme modulari, con le E-Serie di altrettante equazioni ellittiche e notarono, sorprendentemente, una corrispondenza perfetta. Purtroppo, nonostante in tutti i numerosissimi casi analizzati fosse perfettamente ravvisabile questa bizzara corrispondenza, i due matematici nipponici non seppero trovarnae una giustificazione o una dimostrazione matematica, e si limitarono a furmulare una semplice e perentoria congettura, che lòa stoiria avrebbe poi ricordato come congettura Tanaiyama-Shimoro: “Per ogni forma modulare esiste una ed una sola corrispondente equazione ellittica”. L’impatto di una scoperta così rivoluzionaria avrebbe compromesso ed alterato per sempre la matematica posteriore: questo sembrava il primo passo verso l’unificazione totale della matematica e di tutte le sue più distanti branchie.

Negli anni Sessanta, all’Istitue for Advanced Study di Princeton Robert Langlands fu colpito dalla potenza della congettura di Taniyama-Shimura. Anche se non era stata  dimostrata, Langlands riteneva che la congettura rappresentasse soltanto un elemento di uno schema di unificazione molto più generale. Quella fu assunta come la prima di tutta una serie di congetture, ancora non tutte dimostate, per il progetto di unificazione Langlands.

 Nell’autunno 1984 un gruppo selezionato di teorici dei numeri si ritrovò per un convegno a Oberwolfach, una cittadina tedesca nel cuore della Foresta Nera. La riunione verteva sulle equazioni ellittiche. Gerard Frey, uno di loro, ad un tratto si alzò in piedi, scrisse alla lavagna l’equazione di Fermat e ipotizzò una possibile soluzione A, B, C.

                                 Aⁿ + Bⁿ = Cⁿ   con n>2

 con una serie di passaggi matematici molto complesi, l’equazione diventò:

                     y² = x³ + (Aⁿ - Bⁿ)x² - AⁿBⁿx

Una particolare equazione ellittica con a= (Aⁿ - Bⁿ)    b=- AⁿBⁿ        c=0

In altre parole, l’argomentazione di Frey era  la seguente:

(1) Se (e solo se) l’Ultimo Teorema di Fernat è falso, allora l’equazione ellittica di Frey esiste.

(2) L’equazione ellittica di Frey è così strana che non può in nessun caso essere modulare.

(3) La congettura di Taniyama-Shimura afferma che ogni equazione ellittica deve essere modulare.

(4) Quindi la congettura Taniyama-Shimura deve essere falsa!

 Ancora più importante è il fatto che Frey poteva, in alternativa, condurre la sua argomentazione al contrario:

(1) Se è possibile dimostrare che la congettura di Taniyama-Shimura è vera, allora ogni equazione ellittica deve essere modulare.

 (2) Se ogni equazione ellittica deve essere modulare, allora l’equazione ellittica di Frey non può  esistere.

(3) Se l’equazione ellittica di Frey non esiste, allora l’equazione di Fermat non può avere soluzioni.

(4) Quindi l’Ultimo Teorema di Fermat è vero!

 Tutti i matematici tentarono la corsa alla dimostrazione dell’equazione di Frey, incentrata sulla stranezza dell’equazione fermatiana. In particolare Ken Ribet, professore dell’Università della California a Berkeley, riuscì a dimostrarla per casi particolari. Il professor Barry Mazur, venuto a conoscenza dei suoi risultati, gli consigliò di “aggiungere qualche gamma-zero di struttura (M)” per poter generalizzare il procedimento: la stranezza di Frey era oramai ampiamente dimostrata.

Faltings, nel frattempo, aveva dimostrato che le curve base del Teorema di Fermat, presentavano sempre un numero crescemte di buchi, propèorzionale alla n. Ciò implicava che, qualora fossero esistitre risoluzioni, queste sarebbero state di numero finito.

Wiles, iniziò a lavorare instancabilmente sull'Ultimo Teorema e decise di proseguire con il metodo induttivo, ricercando una serie di condizioni tali che, qualora fosse valsa la rprima, le successive bne sarebbero state una diretta conseguenza. Per conseguire questo risultato si impegnò a fondo con il metodo Kolyvagin-Flach, uno dei più complessi fin allora esistenti e lo perfezionò.

Il 23 Giugno 1993 al Sir Isacc Newton Istitute di Cambrige, Wiles affrmò di aver dimostrato l'Ultimo Teorema di Fermat.

In seguito sarebbero state poste delle obiezioni che il matematico riuscì a superare recuperando il metodo Iwasawua.

A tutt'oggi, non si riesce a capire quale strada abbia seguito Pierre de Fermat, l'illustre matematico seicentesco, per dimostrare la sua seconda osservazione.