• della correlazione tra l’asset sottostante l’opzione e il rischio di credito dell’option writer;
• della presenza di altre eventuali obbligazioni (oltre quella derivante dall'opzione venduta) a cui lo stesso option writer può essere obbligato e che quindi lo possono portare al default.

Il modello di Klein si può considerare migliorativo anche rispetto a quelli di:

• Johnson&Stulz (1987), perché considera la possibilità reale che l’option writer abbia altre obbligazioni pecuniarie che lo possono portare al default;
• Hull&White (1995) e Jarrow&Turnbull (1995), perché considera come correlati (e non indipendenti) l’asset sottostante l’opzione e il rischio di credito.

Altro punto importante del modello di Klein è il considerare come variabile endogena il claim dovuto all’option holder in caso di default della controparte. In particolare tale valore verrà a basarsi:

• sul valore finale degli asset del venditore dell’opzione;
• e sull’ammontare degli altri claim pendenti sul soggetto in questione aventi uguale grado di priorità nella soddisfazione.

Le opzioni OTC (over the counter) stanno assumendo una sempre maggiore diffusione. Ne consegue che per i relativi possessori, nonché per tutti gli attori del mercato, esiste la necessità di determinare (anche per le minori garanzie offerte dai mercati OTC) il relativo grado di rischio di credito: ovvero quale è la probabilità di subire della perdite (credit loss) a causa dell’impossibilità dell’option writer di adempiere ai propri impegni al momento della scadenza dell'opzione.

Per affrontare il problema dell’effetto del rischio di credito dell’option writer sul prezzo delle relative opzioni vendute, bisogna prima accennare all’effetto del rischio di credito dell’emittente un bond sul prezzo del bond stesso. I due problemi, infatti, presentano diversi punti in comune.

Per quanto il problema in questione sia stato notevolmente analizzato da Altman sin dal 1983, vede ancora la letteratura divisa tra due scuole di pensiero:

• da una parte abbiamo l’approccio seguito da Black&Sholes, Merton, Black&Cox, Lee, Change ed altri, secondo cui l’evento di default dell’emittente si considera accaduto quando il valore dei suoi asset è inferiore a determinati livelli di default boundary. Il payoff ratio, allora, dipenderà dal valore finale degli asset dell’emittente in questione (variabile endogena al modello);

• il secondo approccio è invece più flessibile per ciò che riguarda il timing (momento in cui si ha il default) dell’evento di default che si ritiene possa avvenire in ogni momento prima della scadenza del bond. Il payoff ratio si considera invece come un valore fisso che quindi non dipende né dalla causa del default, né dal momento in cui avviene, e né dal valore degli asset della controparte prima del default. Sostenitori di questo approccio sono Jonkhart, Neilsen e altri.

Le due teorie discusse rappresentano il punto di partenza per i recenti studi effettuati sul tema del pricing delle opzioni soggette a rischio di credito. In particolare, tre sono stati i modelli presi in maggiore considerazione:

1. Modello di Johnson&Stulz (1987):

tali autori facendo riferimento alla prima della due teorie viste sul pricing di bond soggetti a rischio di credito, studiano il problema con la limitazione di considerare l’opzione venduta come l’unica obbligazione dell’option writer. Il suo default, allora, si verificherà solo se alla data di esercizio della opzione il valore di quest’ultima è superiore al valore dei suoi asset. Il rischio di credito e il suo effetto sull’opzione dipenderanno quindi:

1. dal peggioramento/miglioramento del valore degli asset dell’option writer;
2. dalla diminuzione/aumento del valore della opzione stessa.

Tale modello ha quindi delle ipotesi che non possono considerarsi sempre appropriate:

Un’altra considerazione che può farsi sull’approccio di Johnson&Stulz é che non considera la possibilità che l’option writer copra il proprio rischio di fallimento e quindi impedisca al valore dei suoi asset di scendere ad un livello inferiore a quello della opzione venduta.

2. Modello di Hull&White (1987):

Hull&White, in contrasto con Johnson&Stulz, assumono la presenza di altre possibili obbligazioni pendenti sull’option writer oltre quella derivante dalla vendita dell’opzione. Hull&White allora, per valutare l’effetto del rischio di credito dell’option writer sul prezzo della relativa opzione seguono il secondo dei s.v. approcci per i bond. Il default è quindi un evento che si ritiene possa avvenire in ogni momento prima dell’esercizio della opzione se il valore degli asset dell’option writer scende ad un livello inferiore rispetto ad un determinato default boundary. Il payoff ratio (che è una parte del valore nominale del claim) si ritiene quindi essere funzione di diverse variabili non direttamente correlate al valore degli asset dell’option writer. Hull&White, infatti, considerano il payoff ratio come una variabile esogena al modello e quindi la loro soluzione si ritiene valida solo se l’andamento dell’asset sottostante l’opzione è indipendente dal rischio di credito dell’option writer.

3. Modello di Jarrow&Turnbull (1995):

Jarrow&Turnbull, come Hull&White, seguono il secondo dei s.v. approcci per i bond per studiare l’effetto del rischio di credito di un option writer sul valore della relativa opzione. In particolare tengono conto: a) non solo dell’effetto del rischio di credito dell’option writer, b) ma anche dell’effetto del rischio di credito dell’asset sottostante l’opzione, e di come queste due situazioni possano influenzare il prezzo dell’opzione. Tale approccio poi, sempre in linea con Hull&White, assume che il payoff ratio sia una variabile esogena al modello (ipotesi semplificatrice) Ciò implicherà che: a) sia il valore degli asset dell’option writer, b) che l’ammontare nominale dei claim a cui è soggetto l’option writer, sono due valori fissi al momento del default.

Quest’ultima situazione però, secondo Klein non può accettarsi a causa del tempo, solitamente lungo, necessario per risolvere situazioni di default (1,5/2 anni secondo Wruck). Durante tale lasso di tempo infatti, il valore degli asset dell’option writer potrebbe migliorare fino a consentire il recupero delle conseguenze del default. Inoltre, considerando che la data di esercizio delle opzioni è tale da cadere proprio durante il s.d. lasso di tempo ipotizzato da Wruck, avremo che al momento del default il possessore dell’opzione non la eserciterà e ne aspetterà chiaramente la scadenza.

Assumere il payoff ratio come variabile endogena al modello, il più delle volte, può quindi significare correre il rischio di considerare oltre modo l’effetto del rischio di credito dell’option writer sul valore della relativa opzione.

Del resto come osservato dagli stessi Hull&White, il loro modello può probabilmente ritenersi utile solo quando l’option writer è una grossa istituzione finanziaria con un patrimonio ben diversificato, e dove di conseguenza il peso dell’obbligazione della opzione venduta non è molto rilevate.

Il modello di Klein, in contrasto con quelli di Hull&White e Jarrow&Turnbull, per valutare l’effetto del rischio di credito di un option writer sul prezzo della relativa opzione segue il modello di Johnson&Stultz. Le ipotesi sottostanti il modello di Klein sono:

1. la possibile esistenza di altre obbligazioni in capo all’option writer oltre quella derivante dalla vendita della opzione stessa;
2. l’ammontare nominale dei claim proporzionale al valore degli asset dell’option writer in default;
3. l’esplicito collegamento tra il payoff ratio e il valore degli asset dell’option writer;
4. la correlazione tra gli asset dell’option writer e l’asset sottostante l’opzione.

Sulla base di queste assunzioni è possibile considerare il modello di Klein un miglioramento di quello di Black&Sholes, per di più applicabile ad un numero maggiore di situazioni concrete.

Vediamo allora in concreto come funziona il modello di Klein: assumiamo V come il valore di mercato degli asset dell’option writer, nettamente superiore al payoff atteso sulla opzione (tale payoff è la somma attesa da pagare all’option holder al momento dell’eventuale esercizio dell’opzione).

Klein allora, in contrasto anche con Johnson&Stulz, ritiene che tale perdita non dipenda dal valore della opzione, ma corrisponda "rudemente" all’ammontare del claim D al tempo T.

Il modello di Klein poi assume che:

2) V sia un insieme di traded security (sebbene V non sia molto probabilmente un patrimonio direttamente scambiabile, si ritiene per semplicità che lo sia).

Queste ultime due assunzioni possono facilmente essere dimostrate usando l’approccio risk neutrality (assenza di possibilità di arbitraggi) di Cox&Ross (1976) e Harrison&Pliska (1981) secondo il quale nel prezzare derivati dipendenti da V, il processo più appropriato risulta essere:

Il payout attuale atteso B*, corrispondente al claim nominale di B, può allora essere scritto come:

Questa formula ci permette di vedere come il futuro payout atteso sul claim nominale di B comprenda due quantità entrambe "condizionate" dal valore finale degli asset dell’option writer (o una o l'altra a seconda se c'è o meno riscjio di default).

Il claim è liquidato per intero se gli asset della controparte sono "sopra" il default boundary. Se invece sono "sotto", il payout è solo una porzione (proporzione) del claim nominale e dipenderà dal valore degli asset dell’option writer, come pure dalle altre obbligazioni di quest’ultimo.

Col s.d. approccio di Cox&Ross e Harrison&Pliska si può poi anche dimostrare che se B è un valore nominale fisso, allora:

dove:

Il modello pricing del precedente paragrafo è simile a diversi altri facenti capo a quello di Merton (1974). Il principale contributo di Klein a tale modello è la sua estensione a claim con ammontare nominale uguale al payoff delle opzioni valutate con la formula Black&Sholes. Tali opzioni possono essere valutate in tale maniera quando si include un’altra variabile, S: valore (inteso come prezzo) dell’asset sottostante l’opzione.

Si assume allora che S e V seguano i seguenti processi di diffusione:

dove z e w seguono processi di Wiener con correlazione istantanea r . Si assume che S e V siano traded.

In base a queste ipotesi si può così dimostrare che al fine di prezzare derivati dipendenti da S e V, gli appropriati processi risk neutral sono:

da cui applicando il lemma di Ito per LnS e LnV (per ottenere i differenziali):

Il valore di una call vulnerable C* è allora uguale al valore atteso dei flussi finanziari di una call non vulnerable C, più il valore del claim su una controparte soggetta a rischio di credito (così come visto nella precendente equazione (1)):

La (9) può allora anche essere riscritta come segue:

In ugual modo la formula di pricing per una put con uguali caratteristiche:

Con questi aggiustamenti, le equazioni (11) e (12) possono essere usate anche per altri prodotti come per esempio currency option e future option.

Dall’equazione (9) si è facilmente visto che se non c’è rischio di default, D*=0 e quindi il prezzo di una call vulnerable è uguale al prezzo calcolato con l’apposita formula di Black&Sholes. Ciò può essere verificato valutando il limite della (8) con D*® 0, nonché l’effetto sui parametri della funzione di distribuzione normale bivariabile:

che è il risultato della formula di Black&Sholes standard.

Quando il rischio di credito dell’option writer di un’opzione è indipendente dall’asset sottostante l’opzione, r = 0 e la (11):

Si noti che tale espressione corrisponde al valore atteso non scontato del claim dell’ammontare nominale fisso nella equazione (2). Questo risultato è uguale a quello ottenibile col modello di Hull&White sotto l’assunzione di indipendenza ma collegato espressamente al valore atteso non scontato del claim nominale fisso degli asset della controparte.

I modelli di Johnson&Stulz, Hull&White e Jarrow&Turnball, come già visto in precedenza, possono "sovraconsiderare" l’impatto del livello del rischio di credito dell’option writer sul valore delle relative opzioni vendute rispetto a quanto invece calcolato con l’apposita formula di Black&Sholes. Ciò è chiaramente dovuto alle diverse assunzioni che i s.d. modelli fanno sul default e sull’ammontare recuperato in tal caso dall’option holder.

Sebbene la comparazione diretta tra i s.d. modelli non sia possibile (proprio per le loro diverse assunzioni), appositi esempi numerici (cfr. Journal of Banking&Finance 20 – 1996 – pagg. 1129-1211) mettono in evidenza alcuni punti:

1) l’effetto del credit risk sul prezzo di opzioni vulnerable è generalmente inferiore rispetto a quello riportato da Jarrow&Stulz eccetto quando i deadweight costs (a ) del fallimento sono molto elevati. Ciò è dovuto alla minore enfasi del modello di Klein sulla capacità degli asset dell’option writer di "andare" di pari passo con il valore dell’opzione. Come prima discusso, tale minore enfasi è appropriata quando ci sono altre obbligazioni che pendono sull’option writer e che possono portarlo al default;

2) il modello di Klein (al contrario della formula di Black&Sholes e in contrasto con Johnson&Stulz) calcola l’effetto del rischio di credito sulle opzioni vulnerable considerando come di molto minore la correlazione fra gli asset dell’option writer e l’asse sottostante l'opzione, così come paragonato a quando questa correlazione sia negativa.

Questo risultato è coerente con la realtà del mercato e migliora la qualità della formula di pricing di Black&Sholes per le opzioni soggette a rischio di credito.

3) dall'analisi delle riduzioni che i prezzi delle opzioni subiscono per effetto del rischio di credito con i modelli di Klein e di Hull&White emerge che, in generale, tale effetto usando il modello di Klein è minore rispetto a quanto riportato da Hull&White per le opzioni europee, ed invece simile per ciò che riguarda le opzioni americane.

Questa differenza è dovuta principalmente al relativo minore payoff ratio assunto essere del 50% in tutti i casi dal Hull&White e basato sul valore degli asset dell’option writer che possono recuperarsi in caso di default, secondo Klein.

da cui:

dove a = 0.