LA POLVERE DI CANTOR

La polvere di Cantor è ciò che rimane togliendo dall' intervallo [0,1] il suo terzo medio (1/3,2/3),   poi dai due intervalli rimanenti i loro terzi medi  (1/9,2/9)  e (7/9,8/9) e così via

Oltre alle frazioni del tipo  k/3ⁿ ,estremi dei segmenti che via via vengono tolti rimangono molti altri punti.
La " polvere" è addirittura non numerabile, pur non contenendo nessun intervallo ( è un insieme che coincide con la propria frontiera o- che è lo stesso- è un insieme privo di punti interni, come quello dei razionali, con la differenza che non si tratta di un insieme numerabile)
Si può infatti provare che la polvere è costituita da tutti quei punti la cui rappresentazione in serie di frazioni aventi per denominatore le potenze  di 3 si può scrivere nella forma

                                                 dove ogni a_i  è 0 o 2.

Si tratta cioè dei numeri la cui rappresentazione ternaria del tipo 

                                  0,a₁a₂a₃a₄...

è formata solo da due simboli , 0 e 2 .
(Si noti che anche gli estremi dei segmenti che vengono via via tolti si lasciano scrivere così, sfruttando il periodo 2).
Quindi si tratta di un insieme non numerabile, come è facile verificare con il "metodo della diagonale " di Cantor