||z||2=x2+y2    modulo

in serie

di frazioni

La scrittura 0,6547...è la versione stenografica della rappresentazione decimale                            

Si può usare 3 invece di 10- in questo caso   le cifre a numeratore saranno 0,1,2

La cosa può essere provata così.

Sia a un numero compreso fra 0 e 1.

Si divida [0,1) in 3 parti .

Se  2/3<=a<1, sarà a=2/3+ ^...  e quindi a=0,2...
Se  1/3<=a<2/3, sarà a=1/3+ ^...  e quindi a=0,1...
Se  0<=a<1/3, sarà a=0/3+ ^...  e quindi a=0,0...

Dei tre intervalli precedenti si prenda quello in cui sta a e lo si divida in tre parti. Si proceda quindi come prima.
Per esempio si scriverà 0,21..., se  2/3+1/9<=a<1.

Si ottiene così una successione di numeri razionali q_n la cui distanza da a può essere resa piccola quanto si vuole: al passo n-esimo infatti è più piccola di 1/3ⁿ  . Quindi  q_n tende ad a. ( e la serie di cui q_n   è successione delle somme parziali è a, rappresentato in forma ternaria)

La dimostrazione appena fatta può essere tradotta in un algoritmo.

Inoltre sfruttando la serie geometrica si possono scrivere diversi numeri in forma ternaria

Naturalmente si può usare la divisione in base 3, come si fa usualmente per scrivere una frazione in forma decimale

Diamo qualche esempio in proposito

Ora cerchiamo la scrittura ternaria di  1/4, facendo la divisione

               1,0000  : 11=0,0202...
                 10
                 100
                     10
                     100
                          1

   Osserviamo infine che

e quindi le frazioni di questo tipo sono periodiche di periodo 2

Dopo tutte queste considerazioni è evidente che i granelli della polvere di Cantor sono esattamente  i numeri   nella cui scrittura ternaria figurano solo 0 e 2.

Si supponga per assurdo che [0,1] sia numerabile.Allora i numeri di quest' intervallo potranno essere messi in sequenza.

Le cifre a_ij sono o 0 o1.
Si costruisca ora un numero
la cui prima cifra non sia a₁₁
la cui seconda cifra non sia a₂₂
lacui terza cifra non sia  a₃₃
etc...

Se un tale numero facesse parte della sequenza occuperebbe una certa riga, diciamo l' n-esima: ma allora la sua n-esima cifra sarebbe a_nn

_{Di qui l' assurdo.}

_{(Lasciamo a chi legge il piccolo aggiustamento necessario per ovviare alla difficoltà dovuta alla presenza del periodo 1...)}