f022 P Pentomino
Il pentomino P, puo' essere coperto per il 90% usando 2 tessere congruenti:
_ _ _ _ | | |_ _ _ | | _|_| | |X|X| | | |_ _|
Il 10% non coperto e' segnato con le X.
Il problema e' quello di trovare 2 tessere congruenti (uguali)
con le quali coprire la massima superficie del pentomino.
Le tessere non possono essere sovrapposte e tessere speculari
sono consentite.
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Livio Zucca
Forse ci sono:
Ho corretto i conti con il calcolo analitico ed ho corretto la
figura.
E' possibile che la diagonale si possa inclinare di un angolo
diverso da 45°. In questo caso bisogna flippare il tassello di
sinistra. I calcoli divetano un po' noiosi, pero'. Piu' che fare
la derivata doppia per cercare il massimo, conviene cercare
un'ottimizzazione numerica.
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Livio Zucca
Ho flippato il
tassello di sinistra e ho dato il tutto in pasto ad una Darwin
Machine. Il nuovo record e' una copertura del 92.831+% con cui
incomincio a sentirmi di sfidarvi a migliorarlo.
La figura potete vederla qua:
.
.
Le cifre esatte sono:
.375465210736568
48.9792454740763°
92.8310798767934%
f023 Biliardo matematico
Proposto da Dario Uri il 01/03/1999
Un biliardo matematico e' di forma
rettangolare con lati m ed n INTERI con quattro buche ai vertici.
Una palla esce da una delle buche di un biliardo matematico
esattamente a 45 gradi.
Può rimbalzare indefinitamente o finirà prima o poi la sua
corsa in una delle buche ??
Paolo
Finisce necessariamente in buca.
Essendo i due lati interi, la palla tocca le sponde sempre in
punti di coordinate intere, e questi punti sono in numero finito.
Quindi, se prima non finisce in buca, ad un certo punto la palla
dovrebbe colpire una sponda in un punto già toccato.
Supponiamo che questo avvenga, e sia P il primo punto toccato due
volte.
Distinguiamo due casi:
a) la palla colpisce P entrambe le volte nello stesso verso. NON
è possibile, perché i due segmenti di spezzata QP terminanti in
P dovrebbero coincidere, quindi il *primo* punto toccato due
volte non sarebbe P, ma Q.
b) la palla colpisce P prima in un verso, poi nell'altro. Il
segmento QP che porta al secondo impatto dovrebbe essere uguale e
contrario al segmento PQ che segue il primo, e anche in questo
caso il primo punto toccato due volte sarebbe Q.
Dario
Bellissimo! Col metodo della "discesa continua" alla Fermat.
Si può anche spiegare cosi':
Disegnando il nostro rettangolo mn su un foglio a quadretti e
prendendo come unità la diagonale di un quadretto, la palla
toccherà le pareti verticali dopo m,2m,3m... e le pareti
orizzontali dopo n,2n,3n...
m ed n devono avere un mcm, a quel punto la palla tocca
contemporaneamente una parete verticale ed una orizzontale...
come dire
si infila in buca.
f026 Bocconi
proposto da Dario Uri il 13/03/1998
Oggi si e' svolta in tutta Italia la semifinale dei campionati internazionali di giochi matematici organizzati dalla Bocconi. Tra gli altri, c'era un problema cattivello:
0 X 0 0 0 0 0 0 0 X 0 0 X 0 0 0 0 0 0 X 0 0 0 0 0 0 0 0 0 X 0 X 0 0 0 0 0 0 0 0 X X 0 0 X 0 0 0 0 0 0 0 0 0 X 0 0 0 X 0 X 0 0 0 0 0 0 0 0 0 X 0 X 0 0 0 0 0 0 X 0 X 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 X 0 0 0 X X 0 X 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 X 0 X 0 0 0 0 0
Su una scacchiere 11*11 sono state
scelte 22 caselle in ragione di 2 per riga e 2 per colonna.
Due scelte sono considerate equivalenti se possono essere
ricavate l'una dall'altra attraverso permutazioni di righe e/o
colonne.
Quante sono le scelte non equivalenti possibili ?
Paolo
Quattordici.
Consideriamo una scacchiera generica n*n, con due pedine per
riga e due per colonna.
Per n=2 esiste un'unica soluzione banale.
Per n=3 esiste ugualmente la soluzione unica:
XX0 0XX X0X
o altre ottenibili da questa con permutazioni di righe e/o colonne.
Per n=4 considero i due schemi seguenti:
XX00 AA00 0XX0 AA00 00XX 00BB X00X 00BB
Se unisco con segmenti le pedine nella stessa riga e nella
stessa colonna, nel primo caso ottengo una spezzata chiusa che
tocca tutte le pedine, nel secondo due spezzate chiuse che
toccano rispettivamente le pedine A e le B.
Qualsiasi permutazione di righe o colonne deforma la lunghezza
dei segmenti, ma le spezzate toccano sempre le stesse pedine.
Quindi, partendo da qualsiasi disposizione valida, se ottengo una
spezzata unica, con opportune permutazioni posso arrivare al
primo schema, se ottengo
due spezzate 2*2 al secondo.
Per n=5:
XX000 AA000 0XX00 0AA00 00XX0 A0A00 000XX 000BB X000X 000BB
Quindi un gruppo (una spezzata) unico, o due gruppi 3*3 e 2*2.
Nel caso proposto, n=11, si tratta di stabilire in quanti modi
il numero 11 puo' essere espresso come somma di termini >=2.
Salvo errori dovrebbero essere possibili 14 schemi:
11, 9+2, 8+3, 7+4, 7+2+2, 6+5, 6+3+2, 5+4+2, 5+3+3, 5+2+2+2,
4+4+3,4+3+2+2,
3+3+3+2, 3+2+2+2+2.