g001 Probabilità lotto 1
Qual è la probabilità che il numero più alto uscito a Napoli sia minore di quello più basso uscito a Cagliari?
Risposta
Ipotizziamo di ordinare i numeri usciti a Napoli in ordine
crescente ed affiancargli quelli di Cagliari: tutte le
combinazioni possibili dei due insiemi con la limitazione che la
serie di 10 numeri sia crescente sono date da C(90,10). Questo va
diviso per C(90,5)^2, che sono tutte le combinazioni possibili
delle due ruote da sole.
Quindi, il risultato è C(90,10)/C(90,5)^2 = 0.00296
g002 Probabilità lotto 2
Consideriamo i primi due numeri estratti
nella ruota di Bari.
E' piu' probabile che la loro somma sia pari o dispari?
E se consideriamo i cinque numeri estratti?
Risposta
Si osserva facilmente che estratto un numero, la somma dei
primi 2 sara' pari solo se il secondo sara' della stessa parita'
del primo.
Essendo una estrazione senza reinserimento sara' piu' probabile
estrarne una di diversa parita', quindi sara' piu' probabile una
somma dispari per i primi 2 numeri.
Per quanto riguardano tutte le estrazioni di n numeri quando n
sia dispari, la somma e' equiprobabilmente pari o dispari.
Infatti presa una qualsiasi combinazione ad esempio PDPPP, il suo
"inverso" DPDDD ha sicuramente la stessa probabilita'
di uscita e l'opposto della parita', per cui il 50% delle volte
la somma dei 5 numeri sara' pari, il restante dispari.
g003 Probabilità lotto 3
Qual è la probabilità che il primo numero estratto sulla ruota di Napoli sia minore del primo numero estratto sulla ruota di Firenze?
Risposta
Occorre considerare che la probabilità che esso sia
minore dell'altro è uguale a quella che esso sia maggiore,
infatti scambiando le città il risultato non cambierebbe. La
probabilità che siano uguali è 1/90, e quindi il totale risulta
essere: X + 1/90 + X = 1 , che da X = 89/180.
g004 Probabilità lotto 4
Qual e' la probabilita' che i 5 numeri estratti su una ruota siano in ordine crescente?
Risposta
Estraendo 5 numeri -qualsiasi essi siano- essi si potranno
disporre in 5! modi differenti, di cui solamente uno di essi è
in ordine crescente. Quindi la probabilità sarà 1/(5*4*3*2)=
1/120.
g005 Tre scatole
Anna Maria possiede 3 scatole che contengono rispettivamente 576, 212 e 211 biglie. la sola operazione autorizzata, per modificare questi numeri e' di prendere una biglia da ciascuna delle due scatole per metterle nella terza. Anna Maria vuole rendere la sua ripartizione la piu' omogenea possibile. In quante operazioni, al minimo, puo' raggiungere questo risultato?
Risposta
Considerato che 576+212+211=999, la ripartizione ottimale
sarebbe 333/333/333.
Questa pero' non e possibile. Infatti i tre numeri iniziali
valgono (0,2,1)mod3, e si vede facilmente che dopo ogni mossa si
avranno ancora tre valori (0,2,1)mod3 (non necessariamente in
quell'ordine).
Dobbiamo percio' accontentarci di un risultato 334/333/332.
Ad ogni mossa sottraggo 1 biglia dalla scatola piu' grande,
mentre nelle altre due alternativamente sottraggo 1 o aggiungo 2.
Quindi il primo numero diminuisce di 1 per ciascuna mossa, gli
altri aumentano di 1 ogni due mosse. Dovro' quindi effettuare 242
mosse.
576-242=334
212+242/2=333
211+242/2=332
g007 Dadi sregolati
Come è immediato calcolare lanciando un
dado la media dei risultati dei lanci è 3.5 = somma di tutti i
possibili risultati diviso il numero dei possibili risultati
=(1+2+3+4+5+6)/6
A causa della nostra tridimensionalità quando lanciamo un dado
non vediamo solo la faccia interessante(quella in alto) ma, in
generale, ne vediamo 3: quella interessante più due adiacenti.
Consideriamo adesso che il risultato del nostro lancio sia la
somma di questi 3 valori
a) facile facile
Cerchiamo la media dei risultati dei lanci.
[Come e' noto il dado a 6 facce è fatto in modo che la somma dei
valori di due facce opposte sia sempre 7]
b)
Cerchiamo adesso la disposizione dei valori sulla faccia del dado
in modo tale che la media dei risultati dei lanci sia la massima
possibile.
c)
Come prima ma in modo tale che la media dei risultati dei lanci
sia la minima possibile.
Naturalmente non a forza bruta, è facile dimostrare quale siano
queste configurazioni :-)
Risposta di Giorgio Vecchi
Spero di aver interpretato bene, cioè bisogna cercare
delle disposizioni delle facce del dado alternative a quella
"regolare", cioè con somma tra le facce opposte non
uguale a sette.
La media dei lanci di un dado regolare è 10.5 (3.5 * 3) e credo
proprio che comunque io sregoli le facce rimarrà sempre 10.5.
Vediamo un po': i possibili esiti sono 8, uno per ogni vertice
(con le tre facce attorno). Comunque io scombini le facce, per
ogni probabilità che "esca" un vertice con il
corrispondente totale c'è una uguale probabilità che esca il
vertice diametralmente opposto e, siccome le facce interessate da
questi due eventi sono tutte quelle del dado, la media dei due
risultati sarà data dalla somma delle facce del dado diviso due
((1+2+3+4+5+6) / 2 = 10.5).
Questo vale per ognuno dei quattro vertici con i rispettivi
vertici opposti.
g008 .