g006 Due dadi
Dario:
Lanciando 2 dadi ci si aspetta di fare 12 ogni 36 lanci.
Oggi sono molto generoso. Ti do la possibilita' di fare 24 lanci,
se esce almeno un 12 ti pago un gettone, altrimenti lo paghi tu a
me. Ci stai ?
Silvio:
col cavolo!
In 24 lanci la probabilita' di che non esca mai il doppio sei
e' (35/36)^24 = 50.86%
Alberto:
Il problema e' ben tarato, e da' luogo ad un simpatico
apparente paradosso.
Le probabilita' a tuo favore sono (35/36)^24 (per 24 volte di
seguito deve uscire una delle restanti 35 combinazioni su 36
possibili dei 2 dadi. A me risulta essere uguale a 0,508596124
quindi di pochissimo al di sopra della scommessa alla pari. Beh,
se ci giochiamo il caffe', potrei anche starci... 8-]
Roberto M:
Dario ha tentato di imbrogliarci con i suoi dadi, ma non
si e' accorto di che lascia uno spiraglio aperto. Infatti ci
concede 24 lanci che io ho deciso
di usare in questo modo:
lancio il primo dado fino ad ottenere un 6 e poi lancio il
secondo fino ad ottenere il secondo 6.
In questo caso come cambiano le probabilita' con 24 lanci?
Qual e' il numero "limite" di lanci oltre il quale non
conviene piu' giocare?
Silvio:
10
In questo caso 24 sembrano decisamete tanti, visto che in media
esce un 6 ogni 6 lanci, per cui mediamente 12 lanci producono i
due 6 richiesti.
Vediamo qual e' il valore critico.
Avendo a disposizione k lanci, vinco se escono 2 sei entro i k
lanci. Facciamo cosi': anche se il secondo 6 e' uscito continuo a
tirare fino a completare i k lanci. In questo modo la mia
vittoria corrisponde allevento "escono 2 o piu' sei in k
lanci" che e' un classico del calcolo delle probabilita'
(numero di successi in prove ripetute, distribuzione binomiale).
Sia N il numero di successi. Si avra'
P(N>=2) = 1 - P(N=0) - P (N=1), quindi
P(N>=2) = 1 - (5/6)^k - k*(1/6)*(5/6)^(k-1)
e questo numero supera il 50% per k=10 (51.55%)
Approfondimento di Giulio Ferrari
Il problema è piuttosto vecchiotto (di circa tre secoli e
mezzo :-) Infatti lo stesso quesito fu posto dal cavalier de
Méré (accanito giocatore d'azzardo) a Blaise Pascal nel 1654.
Pascal lo risolse brillantemente arrivando a dimostrare che per
avere un gioco favorevole i lanci devono essere almeno 25.
In molti fanno addirittura risalire la nascita della teoria della
probabilità a questo fatto.
g002 .
g003 .
g004 .