Numeri figurati
proposto da Dario il 08/06/2000
La vecchia questione dei numeri sia triangolari che quadrati
risollevata da Silvio, puo' essere da stimolo per investigare
sull'intero argomento.
Prendiamo i numeri figurati in 2D e 3D.
| Poligonali: | |
| Triangoli | n(n+1)/2 |
| Quadrati | n^2 |
| Pentagoni | n(3n-1)/2 |
| Esagoni | n(2n-1) |
| Ettagoni | n(5n-3)/2 |
| Ottagoni | n(3n-2) |
| K-agoni dove m = K-2 |
n(nm-m+2)/2 |
| Piramide a base: | |
| Triangolare | n(n+1)(n+2)/6 |
| Quadrata | n(n+1)(2n+1)/6 |
| Pentagonale | n^2(n+1)/2 |
| Esagonale | n(n+1)(4n+1)/6 |
| Ettagonale | n(n+1)(5n-2)/6 |
| Ottagonale | n(n+1)(2n-1)/2 |
| K-agonale dove m = K-2 |
n(n+1)(nm-m+3)/6 |
| Rettangolare dove p e' il num. di elementi della fila superiore. |
n(n+1)(2n+3p-2)/6 |
Quali numeri sono comuni per ogni coppia di queste famiglie ?
Riporto alcuni esempi.
Triangoli-Quadrati l'abbiamo appena trattato.
Triangoli-Tetraedri e' un caso speciale di una questione piu' generale riguardante il coefficiente binomiale.
C(n,2)=C(m,3) uniche soluzioni non banali
(m,n)=(10,16),(22,56),(36,120).
Ci sono altri esempi oltre che (10,21) per
C(n,2)=C(m,4)??
Quadrati-Piramide Quadrata e' un vecchio problema dato da Eduard Lucas. Unica soluzione 70^2.
Quadrati-Tetraedri Unica soluzione conosciuta 140^2.
Per tutti gli altri accoppiamenti cosa si puo' dire??
Molti problemi possono essere posti.
Es. Se ho a disposizione 36.894 arance posso disporle in una
piramide a base quadrata, oppure in una a base triangolare o
ancora in un'altra a base rettangolare.
Quanti piani avra' ciascuna piramide ?
(Il caso di 1 solo piano per la rettangolare, non vale).