Antitrasformata di Laplace

Descrizione:

Esegue la Antitrasformata di Laplace di qualunque funzione nel dominio di s F(s) utilizzando l’espansione in frazioni parziali.

- Riconosce gli shifts nel tempo e nella frequenza.

- Effettua la divisione tra numeratore e denominatore, nel caso in cui F(s) sia un rapporto tra polinomi con il grado del numeratore maggiore di quello del denominatore.

- Mostra i passaggi.

NOTA 1: Nella finestra di immissione, f(t) è trattata come f(t)*u(t), visto che utilizziamo l’integrale tra 0- e infinito.

NOTA 2: e^(.) può essere inserito come exp(.), per compatibilità con Antitrasformata (vd. la descrizione).

Come vi si accede:

· Dall’ambiente di circuito, andare ad Utility – Antitrasforma

· Dall’ambiente Home della calcolatrice, digitare antitr() (accertarsi di avere il pacchetto di programmi nella directory corrente).

Esempi di esecuzione:

Esempio 1:

Si vuole antitrasformare

F(s)=((s+3)/(s^2+3*s+2))*e^(-5*s)

· Inserire la funzione nell’apposita finestra.

Attenzione: inserire e^(.) come exp(.)

· A risoluzione ultimata, Antitrasformata visualizza una matrice contenente:

- La scomposizione in frazioni parziali di F(s)

- La trasformata di ogni singola frazione parziale

Fraz. Parz. (Frazione Parziale): specifica a quale frazione parziale si riferisce la colonna di passaggi.

Kj: è il coefficiente della frazione parziale.

Antitr. Imp. (Antitrasformata Impostata): mostra come si imposta la antitrasformata della frazione parziale.

Antitr. Sempl. (Antitrasformata Semplificata): mostra l’antitrasformata della frazione parziale con le semplificazioni effettuate.

· Dopo la matrice dei passaggi, viene visualizzata la somma di tutte le Antitrasformate Impostate delle singole frazioni parziali. E’ semplificando questa espressione che si giunge al risultato.

NOTA: “(da shiftare)” indica che è stata rilevata la presenza di un esponenziale: ciò che compare nella finestra deve ancora essere traslato nel tempo.

· L’ultima finestra contiene la f(t), antitrasformata di F(s).

NOTA: “(shift effettuato)” indica che, rispetto al passaggio precedente, la traslazione temporale è stata effettuata.

Esempio 2:

Si vuole antitrasformare

F(s)=(s+2)/(s^2+4*s+8)

· Inserire la funzione nell’apposita finestra.

· A risoluzione ultimata, Antitrasformata visualizza una matrice contenente:

- La scomposizione in frazioni parziali di F(s)

- La trasformata di ogni singola frazione parziale

Si nota come per ogni coppia di radici complesse coniugate abbiamo una sola colonna nella matrice dei passaggi; relativamente all’esempio che stiamo considerando, essa si interpreta come segue:

- nell’espansione abbiamo due frazioni parziali, una per ogni radice complessa, e precisamente

(1/2)/((s+2)*(1+j)) +(1/2)*/(s+2*(1-j))

- Antitr. Imp. E Antitr. Sempl. sono rispettivamente, l’antitrasformata impostata e semplificata dell’insieme dei due addendi sopra, ovvero della coppia di radici complesse coniugate.

· Dopo la matrice dei passaggi, viene visualizzata la somma di tutte le Antitrasformate Impostate delle singole frazioni parziali. E’ semplificando questa espressione che si giunge al risultato.

NOTA: questa volta non si hanno fattori esponenziali: “(da shiftare)” , quindi, non compare.

· L’ultima finestra contiene la f(t), antitrasformata di F(s).

NOTA: come già detto al punto precedente, non sono stati rilevati esponenziali: “(shift effettuato)” non ha motivo di esistere.

Esempio 3:

Si vuole antitrasformare

F(s)=(s+1)/(s^3*(s+2)*(s^2+4))

· Inserire la funzione nell’apposita finestra.

· A risoluzione ultimata, Antitrasformata visualizza una matrice contenente:

- La scomposizione in frazioni parziali di F(s)

- La trasformata di ogni singola frazione parziale

· Dopo la matrice dei passaggi, viene visualizzata la somma di tutte le Antitrasformate Impostate delle singole frazioni parziali. E’ semplificando questa espressione che si giunge al risultato.

NOTA: questa volta non si hanno fattori esponenziali: “(da shiftare)” , quindi, non compare.

· L’ultima finestra contiene la f(t), antitrasformata di F(s).

NOTA: come già detto al punto precedente, non sono stati rilevati esponenziali: “(shift effettuato)” non ha motivo di esistere.

Esempio 4:

Si vuole antitrasformare

F(s)=(s^2+2*s+2)/(s*(s+2))

· Inserire la funzione nell’apposita finestra.

· Questa volta la frazione non è propria (ovvero il grado del numeratore non è minore di quello del denominatore): sarà, dunque, effettuata la divisione del numeratore per il denominatore.

I passaggi della divisione si ricostruiscono a partire dalla matrice sopra riportata nella seguente maniera:

1*s² +2*s +2 s*(s+2)

-1*s² -2s +0 1

0*s² +0*s +2

· Individuato il quoziente, esso viene subito antitrasformato.

· Mentre il resto della divisione fratto il denominatore di F(s) viene espanso in frazioni parziali.

· I passaggi dell’espansione in frazioni parziali di resto/denom. di F(s) risultano

· Il risultato, sempre in forma “impostata” è

· Eseguendo le dovute semplificazioni di ciò che appare nella finestra sopra rappresentata, si ottiene