Analisi di concordanza

(Tratto da Quirico S., Tirelli A. 1998. I metodi Electre. Corso di VIA, Politecnico di Milano)

Nell'ambito dei metodi utilizzati per l'analisi a molti criteri si colloca l'analisi di concordanza, su cui sono basati i cosiddetti metodi ELECTRE (Elimination Et Choix Traduisant la REalité ), nati in Francia nel 1966.

In genere un'analisi di concordanza tenta di selezionare un'alternativa di progetto ottima tra varie alternative sulla base di criteri (o attributi) multipli, l'importanza dei quali è fondata su stime che possono essere sia quantitative che qualitative. Comunque, a ognuna delle alternative selezionate si assegna un punteggio per ciascun criterio, espresso secondo una scala numerica propria. A loro volta i diversi criteri vengono opportunamente pesati e la scala dei pesi si può ricavare implicitamente attraverso la teoria delle preferenze rivelate, oppure in modo esplicito tramite interviste. Definendo, poi, un indice di concordanza per ogni coppia di alternative è possibile, attraverso confronti a coppie, determinare la dominanza relativa tra le medesime e scartare le peggiori tramite eliminazioni successive.

Per semplicità ci riferiremo, da qui in avanti, alla seguente simbologia:

A = (a₁, a₂,...a_i ,...a_j,...a_n ) insieme delle n alternative ammissibili.

I = (1, 2, ...k, ...m) insieme degli m criteri.

W = (w₁, w₂ ,...w_i,...w_j,...w_n ) vettore dei pesi associati ai criteri.

g_k (a_i) prestazione dell'alternativa i-ma secondo il criterio k-simo.

I⁺ (i,j) = (k: g_k(a_i) > g_k(a_j) ) insieme dei criteri per i quali l'alternativa a_i è preferita all'alternativa a_j.

I⁼ (i,j) = (k: g_k(a_i) = g_k(a_j) ) insieme dei criteri per i quali l'alternativa a_i è equivalente all'alternativa a_j.

I^- (i,j) = (k: g_k(a_i) < g_k(a_j) ) insieme dei criteri per i quali l'alternativa a_j è preferita all'alternativa a_i.

W⁺(i,j) = somma dei pesi associati ai criteri dell'insieme I⁺(i,j).

W⁼(i,j) = somma dei pesi associati ai criteri dell'insieme I⁼(i,j).

W^-(i,j) = somma dei pesi associati ai criteri dell'insieme I^- (i,j).

L' indice di concordanza

L'indice di concordanza c(i,j) rappresenta in un certo senso la soddisfazione che riceve il decisore scegliendo a_i anzichè a_j ed è definito come (Davalli F., 1991):

Naturalmente c(i,j) può assumere solo valori compresi tra 0 e 1 (1 corrisponde a una dominanza paretiana di a_i su a_j). Tale indice viene chiamato di concordanza poiché esprime il grado con cui si concorda sul fatto che a_i è migliore di a_j.

L' indice di discordanza

Per quantificare il grado con cui un'alternativa è peggiore di un'altra viene definito l'indice di discordanza d(i,j), che rappresenta il rammarico o la sconvenienza che prova il decisore nello scegliere a_i anziché a_j. Per ogni coppia di alternative (a_i ,a_j) e per ogni criterio discordante, cioè appartenente a I^- (i,j), la differenza di prestazioni tra le due alternative che si confrontano è divisa per la massima differenza sul criterio; il maggiore di questi quozienti è l'indice di discordanza:

L'operazione di normalizzazione, eseguita dividendo per l'ampiezza della scala del criterio, ha lo scopo di far assumere anche a d(i,j) valori compresi tra 0 (quando non esistono criteri discordanti con l'affermazione che a_i è migliore di a_j) e 1 (quando tutti i criteri sono discordanti).

Si noti che le informazioni racchiuse nella condizione di concordanza sono significativamente diverse da quelle fornite dalla condizione di discordanza, il che le rende complementari: la concordanza rappresenta le differenze tra i pesi dei criteri, mentre le differenze tra le prestazioni delle alternative sono rappresentate dagli indici di discordanza e questo duplice processo matematico consente un'analisi più sottile e costituisce un importante vantaggio rispetto ad altri metodi. La selezione delle alternative migliori dovrebbe quindi basarsi sulla massimizzazione dei loro indici di concordanza e sulla minimizzazione di quelli di discordanza, mentre l'eliminazione delle alternative meno favorevoli dovrebbe basarsi su bassi valori dei loro c(i,j) e su alti valori di d(i,j).