L'analisi gerarchica

(tratto da Cerri L., Villa L. 1998. Analisi gerarchica. Corso di VIA, Politecnico di Milano).

L'analisi gerarchica, messa a punto da Saaty negli anni '70, permette di giungere ad un ordinamento finale di più progetti, scomponendo il problema decisionale in tanti sottoproblemi uguali tra loro, che vengono risolti con un metodo di confronti a coppie. Una volta risolti tutti i sottoproblemi basta ricomporre il tutto e tirare le somme.

Le fasi dell'analisi gerarchica sono:

1. definizione della gerarchia e scomposizione
2. risoluzione dei sottoproblemi con i confronti a coppie
3. ricomposizione e sintesi

I punti di forza di questo metodo sono principalmente i seguenti:

i sottoproblemi sono ridotti e, quindi, di facile risoluzione;

l'analisi può essere totalmente qualitativa;

la tecnica di stima è unica e si basa sui confronti a coppie.

D'altra parte vanno fatte due critiche molto pesanti e cioé:

i coefficienti di importanza relativa (pesi) vengono stimati con metodi che non hanno significato teorico;

il risultato dipende dalle alternative presenti.

Nonostante queste critiche l'analisi gerarchica è comunque diventata un metodo molto utilizzato.

1. Definizione della gerarchia e scomposizione  

Per prima cosa bisogna scomporre il problema decisionale in una serie di elementi (obiettivi, attributi e alternative) che devono poi essere organizzati secondo una gerarchia. Così impostato, il problema decisionale viene suddiviso in tanti sottoproblemi che consistono nel confrontare tra loro questi elementi per ordinarli rispetto ad un particolare obiettivo. Lo scopo dell'analisi gerarchica è quello di trovare un ordinamento delle alternative rispetto all'obiettivo globale, servendosi dei risultati di questi confronti.

Una gerarchia è l'insieme di tutti gli elementi in cui è stato scomposto il problema ordinati secondo diversi livelli. Nel primo livello ci deve essere sempre l'obiettivo globale, nell'ultimo le alternative e nei livelli intermedi i vari obiettivi e attributi. Il numero dei livelli intermedi definisce la complessità della gerarchia.

Per ogni livello devono valere due proprietà :

indipendenza interna;

dipendenza esterna di un livello dal livello superiore.

Un livello è internamente indipendente quando sono indipendenti tra loro i vari elementi che lo costituiscono, mentre è esternamente dipendente dal livello superiore quando i suoi elementi dipendono dagli elementi del livello superiore.

La gerarchia si dice completa quando ogni elemento di un livello dipende esternamente da tutti gli elementi del livello superiore, è invece incompleta quando almeno un elemento di un livello non dipende esternamente da tutti gli elementi del livello superiore. Per convenzione le dipendenze esterne di un livello di una gerarchia incompleta vengono rappresentate con degli archi, viceversa, se la gerarchia è completa, non vengono tracciati archi di collegamento tra un livello e l'altro.

2. Risoluzione dei sottoproblemi con i confronti a coppie 

Per stimare i pesi che andranno inseriti nei vettori di ordinamento, che sono il risultato dei confronti degli elementi di un livello gerarchico rispetto ad un qualsiasi elemento del livello superiore, si utilizza il metodo dei confronti a coppie, consistente nella costruzione di una matrice quadrata avente sia sulle righe che sulle colonne gli elementi da ordinare; ogni suo elemento m_ij è il risultato del confronto tra l'attributo della riga i e quello della colonna j dal punto di vista di un certo obiettivo.

Supponiamo di dover ordinare n = 4 elementi, A, B, C, D. Eseguire un confronto tra la coppia di elementi A e B significa rispondere alla domanda: "Quanto è importante A rispetto a B dal punto di vista di un certo obiettivo?". Rispondendo a questa domanda, posta per ogni coppia di elementi , si può riempire la matrice dei confronti a coppie che fornisce  informazioni su quanto valgono gli attributi di riga rispetto a quelli di colonna. Ad esempio, facendo riferimento alla matrice seguente:

si può vedere che A vale due volte B. Sulla diagonale principale ci devono essere ovviamente una serie di elementi uguali a 1 (A vale una sola volta rispetto a se stesso), mentre nelle altre celle solo valori positivi. Inoltre per la matrice dei confronti a coppie vale sempre la proprietà di reciprocità (cioè m_ij = 1/m_ij ) e, a volte, anche quella di consistenza (m_ik = m_ij * m_jk ); si possono così distinguere due casi:

1. matrice dei confronti a coppie consistente;
2. matrice dei confronti a coppie  non consistente.

In questo caso non è necessario riempire tutti gli elementi della emimatrice superiore ( n(n-1)/2 confronti a coppie ), ma ne bastano (n-1) purché questi siano disposti in modo da non essere dipendenti. Per vedere se questa disposizione permette di riempire tutta la matrice, bisogna definire l'albero di supporto ad essa associato. Quest'ultimo è un grafo formato da nodi e da archi orientati che contiene tutte le informazioni dei confronti a coppie. I nodi stanno ad indicare gli elementi da confrontare che saranno, perciò, in numero uguale all'ordine n della matrice; gli archi orientati, invece, stanno ad indicare le relazioni esistenti tra vari elementi: per esempio, un arco di valore 2 che va da A a B ci indica che A vale il doppio di B. Se l'albero non contiene nessun nodo isolato (nodo che non è raggiungibile dagli altri nodi), gli n-1 confronti sono disposti in modo opportuno e, quindi, non sono dipendenti. Allora, a partire da questi n-1 dati iniziali (o confronti), si è in grado di completare l'intera matrice. Per fare ciò si può procedere direttamente sulla matrice stessa applicando le proprietà di consistenza e di reciprocità, oppure sul grafo completandolo (sempre applicando le due proprietà ) con gli archi mancanti.

1. Per la proprietà di consistenza si può scrivere:

m_ik = m_ij * m_jk da cui m_ij = m_ik / m_jk

Questa relazione dice che, per ogni colonna k della matrice, il rapporto tra l'elemento della riga i e quello della riga j ha sempre lo stesso valore m_ij , dunque tutte le colonne sono proporzionali tra loro.

2. Quando una matrice ha tutte le colonne proporzionali tra loro è una matrice di rango 1, cioè ha un solo autovalore diverso da zero. Poiché la somma degli autovalori di una matrice quadrata è la traccia della matrice stessa e un solo autovalore è diverso da zero, questo vale n in una matrice come quella che si sta considerando. Infatti gli n elementi della diagonale principale sono uguali a 1 e quindi la loro somma è uguale ad n. A questo autovalore, che è unico, diverso da zero e massimo tra gli autovalori, si dà il nome l _max ; quindi l _max = n.

Si moltiplichi ora la matrice dei confronti (M) per una qualsiasi delle sue colonne x: sviluppando i calcoli e ripetendo questa operazione per ogni riga risulta che

M * x = n* x

Che è la definizione di autovettore associato all'autovalore n. La generica colonna x è allora un autovettore associato a l _max e, essendo tutte le colonne della matrice proporzionali, queste rappresentano lo stesso autovettore a meno di una costante moltiplicativa.

Vettore di ordinamento di una matrice consistente

Ogni colonna della matrice dei confronti a coppie, una volta normalizzata in modo che la somma dei suoi elementi sia pari ad 1, rappresenta un vettore di ordinamento. Normalizzando tutte le colonne si arriva ad avere l'autovettore normalizzato associato all'autovalore l _max = n, cioè a w = (w_1, w_{2, ….,} w_n).

Perciò se una matrice è consistente la relazione m_ik = m_ij * m_jk può essere scritta come m_ik = w_i/w_{j .}

Scala di importanza relativa di Saaty

Finora si sono considerati i confronti a coppie come domande del genere: "Quanto vale un attributo rispetto ad un altro? ". In realtà fare domande di questo tipo può porre in seria difficoltà il decisore, che risponde con molta più facilità a domande che prevedono il confronto qualitativo tra due elementi , del tipo "Hanno la stessa importanza? Uno dei due è più importante ? E' molto più importante ?…". Per superare questo problema Saaty ha stabilito una scala di importanza qualitativa che permette al decisore di rispondere più facilmente. Ad ogni classe di tale scala è poi associato un valore che si metterà nella matrice dei confronti e del quale il decisore non è a conoscenza. In questo modo si è in grado di riempire la matrice dei confronti a coppie utilizzando solamente i giudizi qualitativi del decisore.

Tale scala d'importanza è stata elaborata tenendo conto di studi sulla capacità del cervello umano di classificare un numero finito di elementi. In base a questi studi si è stabilito che, in media, il numero di classi va da 5 a 9. Cercando allora di non creare un numero troppo elevato di classi, Saaty ha proposto la classificazione della tabella seguente: