6.5  Soluzioni di buchi neri estremi multipli

È possibile generalizzare le soluzioni (6.21) al caso di buchi neri estremi multipli in equilibrio statico, secondo un procedimento simile a quello utilizzato da Majumdar e Papapetrou nel caso di Einstein-Maxwell [40]. Basandosi sulle (6.21) - (6.23), si suppone che la soluzione abbia la forma:    

$$- V^{-(1+k)} dt^2 + V^2d\mbox{\bf x} \cdot d\mbox{\bf x}$$                             ds² = (6.34)

$$e^{-2\phi} V^{\frac{k-1}{2}}$$ = (6.35)

$$\frac{\sqrt{1-k}}{2} \,\varepsilon_{ij}^{\;\;\:\:k} \,\partial_k V \; ,$$ F_ij = (6.36)

 

dove:

$$V = V(\mbox{\bf x}) \; ,$$

e:

$$\mbox{\bf x} = (x^1, x^2, x^3)$$

rappresenta il vettore posizione di un generico punto della sezione spaziale, e si cercano le condizioni che deve soddisfare V per risolvere le equazioni di campo.

L'equazione (6.12.a):

$$\nabla_{\mu}\,\left( e^{-2 \phi} F^{\mu \nu} \right) = 0$$

è banalmente soddisfatta per la antisimmetria del tensore $F^{\mu \nu}$.

La verifica della seconda equazione (6.12.b):

$$R = \frac{8k}{1-k} \left(\nabla^2 \phi -(\nabla \phi)^2 \right) - \frac{3+k}{1-k} \, F^2$$

è più laboriosa, in quanto bisogna calcolare le quantità $\nabla^2 \phi$, $\left( \nabla \phi \right)^2$, F² ed R; si ha:

$$\nabla^2 \phi \frac{1}{\sqrt{-g}} \, \partial_{\mu}\left(\sqrt{-g} \, g^{\mu \nu} \, \partial_{\nu}\phi \right)$$ =

$$\frac{1-k}{4} \, V^{-3} \, \mbox{\boldmath$\nabla$ }^2 V +\frac{-1+k^2}{8} \, V^{-4}\left( \mbox{\boldmath$\nabla$ }V\right)^2$$ = (6.37)

$$\left( \nabla \phi \right)^2 g^{\mu \nu} \, \partial_{\mu} \phi \, \partial_{\nu} \phi$$ =

$$\frac{(1-k)^2}{16} \, V^{-4}\left( \mbox{\boldmath$\nabla$ }V\right)^2$$ = (6.38)

$$F_{\mu \nu}\,F^{\mu \nu}$$ F² =

$$\frac{1-k}{2} \, V^{-4}\left( \mbox{\boldmath$\nabla$ }V\right)^2$$ = (6.39)

$$R_{\mu}^{\;\,\mu}$$ R =

$$(k-3)\, V^{-3} \,\mbox{\boldmath$\nabla$ }^2 V -\frac{k^2+2k-3}{2} \, V^{-4}\left( \mbox{\boldmath$\nabla$ }V\right)^2 \; ,$$ = (6.40)

 

dove l'operatore  è il gradiente nello spazio piatto 3-dimensionale. Sostituendo nella equazione di campo, si ha che questa è identicamente soddisfatta se:

$$\mbox{\boldmath$\nabla$ }^2 V = 0 \; .$$ (6.41)

 

Analogamente si prova che l'ansatz scelto verifica anche la terza equazione di campo (6.12.c):

$$R_{\mu \nu} = 2 \,\nabla_{\mu}\phi \nabla_{\nu}\phi+ 2 \,e^......nu}^{\;\:\rho}-\frac{1}{2} \,g_{\mu \nu} e^{-2a\phi}F^2 \; .$$  

La condizione $\mbox{\boldmath$\nabla$ }^2 V = 0$ è, come è noto, l'equazione di Laplace dell'elettrostatica e della teoria gravitazionale node0.oniana, ed esprime in forma locale le proprietà dello spazio in cui non sono presenti cariche o masse.

Si può scegliere per V una espressione che, in generale, nel caso di una soluzione per buchi neri multipli, sia del tipo:

$$V = c + \sum_{n=1}^N \frac{\alpha_n}{\rho_n} \; ,$$ (6.42)

 

dove $\rho_n = \vert\mbox{\bf x} - \mbox{\bf x}_n\vert$, con $\mbox{\bf x}_n \;$ che denota la posizione dell'n^mo buco nero.
 
 

 

Figura 6.3: Sezione spaziale della configurazione multipla di buchi neri estremi.

 

V soddisfa l'equazione di Laplace in tutti i punti tranne $\mbox{\bf x}_n$, dove è singolare, e corrisponde ad una distribuzione di cariche puntiformi. Quando x si avvicina ad un particolare punto, diciamo il j^mo, il corrispondente termine nella somma domina, cosicché:

$$V \simeq c + \frac{\alpha_j}{\rho_j} \; .$$  

Per c = 1 si ha l'estensione ad N buchi neri del caso già discusso, per cui la metrica è del tipo di Bertotti-Robinson vicino all'orizzonte $\rho_j = 0$di ciascuno dei buchi neri, e tende asintoticamente alla metrica di Minkowski all'infinito. Come dimostreremo esplicitamente per la metrica ``canonica'', questa soluzione corrisponde a N masse in cui gravità, elettromagnetismo e forze scalari si equilibrano in uno spazio asintoticamente piatto.

Per c = 0 invece, si ottiene una soluzione che, in prossimità del j^mo termine, è:

$$V = \frac{\alpha_j}{\rho_j} \; ,$$

e rappresenta ancora uno spazio di Bertotti-Robinson, ma in questo caso la soluzione è di Bertotti-Robinson anche all'infinito, con:

$$V = \frac{\alpha_{\infty}}{\rho} \; ,$$

dove:

$$\alpha_{\infty} = \sum_{n=1}^{N} \alpha_n \, .$$  

 
1999-03-18