n001 Numeri Felici
Se iteriamo il processo di sommare i
quadrati delle cifre di un numero naturale, otteniamo un ciclo
oppure finiamo con "1".
Es. iniziamo con 4. 4^2=16, 1^2+6^2=37, 3^2+7^4=58..... si
finisce nel ciclo
4, 16, 37, 58, 89, 145, 42, 20, 4.
Es. iniziamo con 7.
7, 49, 97, 130, 10, 1.
I numeri che generano sequenze che terminano in "1" sono noti come Numeri Felici (NF).
Cerca k NF consecutivi. k= 2,3,4,5...
Andy
Non sono riuscito a trovare una regola generale per trovare i
NF, ma facendo un po' di calcoli, ho determinato i NF tra i primi
100 naturali,
essi dovrebbero essere:
1, 7, 10, 13, 19, 23, 28, 31, 32, 44, 49, 68, 70, 79, 82, 86, 91,
94, 97, 100
Tra questi cento esiste una sola coppia di numeri consecutivi,
ossia 31 e 32.
Silvio
ecco le sequenze minime che ho trovato finora
k NF
2 31-32
3 1880-81-82
4 7839-40-41-42
5 44488-89-90-91
Paolo
per k=6 ho trovato
111799...991
111799...992
111799...993
111799...994
111799...995
111799...996
(la cifra 9 ripetuta 40 volte in ciascun numero)
trovati con un po' di forza bruta, un po' di fortuna, ed un
metodo di mia invenzione, funzionante ma non troppo economico
(vengono fuori numeri esagerati)
con un programmino genero i primi 10.000 NF
li trasferisco in un foglio Excel e calcolo le differenze tra due
NF consecutivi
cerco, con un po' di pazienza, 6 NF (non necessariamente
consecutivi) le cui differenze siano 5 numeri dispari consecutivi
nel caso specifico ho trovato i NF 3293, 3296, 3301, 3308, 3317,
3328 le cui differenze sono rispettivamente 3, 5, 7, 9, 11, cioe'
(4-1), (9-4), (16-9), (25-16), (36-25)
sottraendo dai 6 NF rispettivamente 1,4,9,16,25,36 ottengo quindi
sempre la stessa differenza 3292
scompongo questa differenza come somma di quadrati tra 1 ed 81
3292=81*40+49+1*3
quindi 111799...99 genera, come somma di quadrati, 3292,
e sommando, di volta in volta, i quadrati da 1 a 36, riottengo i
NF di partenza
n002 Somme pandigitali
Definiamo "pandigitale" un
numero di 10 cifre tutte differenti.
es. 1234567890, 9081736452...
Lo zero davanti NON e' permesso.
Qual è la somma di tutti questi pandigitali ?
Paolo
17.942.399.998.387.200
siano
A la somma di tutti i pandigitali, COMPRESI quelli con lo zero
davanti
B la somma dei SOLI pandigitali con lo zero davanti
la somma cercata sara' A-B
A e' composta da 10! numeri di dieci cifre;
ciascuna cifra vale *mediamente* 4,5;
ciascun numero vale mediamente 4,5 * 1.111.111.111,
quindi
A = 10! * 4,5 * 1.111.111.111
analogamente
B e' composta da 9! numeri di nove cifre;
ciascuna cifra vale *mediamente* 5;
ciascun numero vale mediamente 5 * 111.111.111, quindi
B = 9! * 5 * 111.111.111
e
A - B = 18.143.999.998.185.600 - 201.599.999.798.400 =
17.942.399.998.387.200
n005 Pecore
Un pastore dice all'altro:
Se mi dai una pecora ne avrò il doppio delle tue.
L'altro gli risponde:
No! Dammene tu una a me cosi ne abbiamo pari!
Quante pecore avevano i due pastori all'inizio?
Il primo ha 5 pecore, il secondo ne ha 7 .
Questo problema, apparentemente banale, ha nobili origini. Vedi alla sezione approfondimenti.
n006 Numeri in cerchio
250 numeri sono scritti sulla
circonferenza di un
cerchio in modo che sommando qualsiasi 4 numeri
successivi si ottenga sempre 100. Quanto vale A ?
A *
*
*
16
*
*
A = 65
Iniziando a contare (1) nella posizione di A, ad esempio in
senso orario, il numero in posizione (5) deve essere di nuovo A
visto che (1+2+3+4) = (2+3+4+5). Similmente quello in posizione
(9), (13), ... (249), (253)==(3).
Insomma, tutti i numeri in posizione dispari valgono A e quelli
in posizione pari valgono 16. Quindi, A+16=50.
n007 Cifre uno
Se scrivo gli interi da 1 a 10.000.000.000, sono di piu' quelli che contengono almeno una cifra "1" oppure gli altri ?
Paolo
quelli con la cifra 1 sono di piu': 6.513.215.600 contro
3.486.784.400
anziche' da 1 a 10.000.000.000 scrivo i numeri da 0 a
9.999.999.999, aggiungendo zeri a sinistra dove occorre.
trovo la matrice di 10.000.000.000 di righe e 10 colonne:
0 000 000 000
0 000 000 001
...
9 999 999 999
dove, per ragioni di simmetria, tutte le cifre da 0 a 9 hanno la
stessa frequenza in ciascuna colonna
avro' percio' 1.000.000.000 di numeri (un decimo dei numeri
totali) che hanno la cifra 1 in prima posizione (ultima colonna)
elimino dalla matrice le righe corrispondenti a questi numeri;
dei rimanenti 9.000.000.000, ne avro' 900.000.000 con la cifra 1
in seconda posizione (penultima colonna)
elimino ancora, e tra gli 8.100.000.000 rimanenti ne trovo
810.000.000 con la cifra 1 in terza posizione
eccetera...
contando tutti i numeri eliminati nei diversi passaggi, ne trovo(
salvo errori) 6.513.215.599 con almeno una cifra 1
a cui ne aggiungo 1 per tenere conto dell'ultimo numero
(10.000.000.000) non incluso nella matrice
...............
ci si arriva anche in modo piu' diretto:
9/10 dei numeri NON hanno la cifra 1 in ultima colonna
9/10 di questi NON hanno la cifra 1 in penultima colonna
9/10 di questi NON hanno la cifra 1 in terzultima colonna
eccetera...
quindi
(9/10)^10*10.000.000.000.000=9^10=3.486.784.401 numeri della
matrice NON hanno nessuna cifra 1
(il risultato va poi corretto di una unita', per trascurare lo
zero iniziale e considerare invece il numero 10.000.000.000
finale)
n008 Crucinumeri
Scrivere 4 numeri di 4 cifre ciascuno in
colonna in modo tale che gli 8 > numeri risultanti, 4 letti
orizzontalmente e 4 verticalmente siano tutti > quadrati.
Lo zero davanti e' permesso. es: 0016 oppure 0729...
Variante proposta da Silvio:
ma cosi' ce ne sono un'infinita', per esempio
0 0 3 6
0 0 6 4
8 1 0 0
1 6 0 0
Diciamo allora che lo zero davanti NON e' permesso, o meglio, che
non e' permesso AFFATTO (se non ho preso una cantonata, credo che
la soluzione sia addirittura unica!!!)
Paolo
Ho trovato un *quadrato magico* di quadrati
2 1 1 6
1 2 2 5
1 2 9 6
6 5 6 1
Non ho idea se sia unico
Metodo usato: forza bruta (prova e riprova) con alcune
considerazioni preliminari:
tutti i quadrati terminano con una delle cifre 0,1,4,5,6,9;
scrivo tutti i quadrati di 4 cifre, elimino quelli che contengono
una delle cifre 0,2,3,7,8, e rimango con
1156, 1444, 1936, 6561
che sono gli unici che possono occupare l'ultima riga o l'ultima
colonna
n012 Numeri crescenti
Definiamo numero crescente NC, un intero
positivo di n cifre n>1, dove ogni cifra e' maggiore della
precedente cominciando da sinistra. Ad es sono crescenti:
12, 239, 123456789... ecc mentre 11234, 4890, 61234... non lo
sono.
Come si vede 0<9 e non puo' essere presente.
Quanti NC esistono ?
Silvio Sergio
< Quanti NC esistono ?
511
Di 9 cifre ce n'e` uno solo: 123456789
Di 8 cifre ce ne sono 9, ottenuti cancellando una delle 9 cifre
della successione 123456789:
12345678_
1234567_9
...
_23456789
Di 7 cifre sono tanti quanti i modi di cancellare due delle 9
cifre, ovvero
C(9,2)=36
1234567__
123456_8_
...
__3456789
fino ai nove numeri di una sola cifra ottenuti cancellando 8
delle 9 cifre.
In totale sono C(9,0)+C(9,1)+..+C(9,8)
Da una nota proprieta` dei coefficienti binomiali si conclude che
i NC sono
2^9-1 = 511
Silvio Sergio
> Quanti NC esistono ?
E` ancora piu` semplice di quanto ho prospettato nel mio primo
post.
Ogni NC e` caratterizzato in maniera univoca della presenza od
assenza di ogni singola cifra, dato che l'ordine e` determinato.
Quindi ogni NC puo` essere associato ad una stringa di 9 bit, in
cui il bit n e` 1 se la cifra n e` presente nel numero, 0
altrimenti. Cosi`, ad esempio
123456789
23569 -> 011011001
348 -> 001100010
Con 9 bit si codificano 2^9 numeri. Escludendo la stringa di
tutti zeri
restano 511 NC.
n013 Una rara proprietà
Prendiamo un intero A, aggiungiamo la
somma delle sue cifre per ottenere B, aggiungiamo a B, la somma
delle cifre dello stesso B per ottenere C.
Ora, se invertendo le cifre di C ottengo A, quale numero puo'
essere A?
Es per A=12
12+1+2 = 15
15+1+5 = 21
inversione di 21 = 12.
Cerca altri possibili valori di A.
Giovanni Ravesi
A=69
69 + 6 + 9 = 84
84 + 8 + 4 = 96
inversione di 96 = 69
Mi sembra che sia il solo altro valore possibile oltre al 12
Paolo Zavarise
io prenderei in considerazione anche lo 0
Giovanni Ravesi
Rileggendo il post con il problemino, in effetti era l'esempio che era fatto su di un numero di 2 cifre, ma nulla vieta che le cifre possano essere di meno, o di più.
n016 Gruppi di interi
alcune delle soluzioni inviate al NG
I numeri naturali sono stati divisi in
gruppi. Ciascun gruppo ha un'elemento in piu' del precedente:
(1);(2,3);(4,5,6);(7,8,9,10).......
Qual e' la somma dell'ennesimo gruppo ?
Paolo Licheri
il primo gruppo ha un elemento, il secondo ne ha due,..
l'ennesimo ne ha n.
i primi n gruppi hanno complessivamente
k(n) = 1+2+....+n = n*(n+1)/2 elementi ,
e k(n) e' anche l'ultimo numero del gruppo ennesimo
il primo elemento di tale gruppo e'
a(n) = k(n) - n + 1, quindi
s(n)=n*(a(n)+k(n))/2 e sviluppando
s(n)=(n^3+n)/2
I numeri naturali sono stati divisi in
gruppi. In ciascun gruppo compaiono
tanti elementi come indicato dalla serie di Fibonacci
1,1,2,3,5,8,13,21....
(1);(2);(3,4);(5,6,7);(8,9,10,11,12);(13,14,15,16,17,18,19,20)....
Qual e' la somma dell'ennesimo gruppo ?
Silvio Sergio
L'ennesimo gruppo ha F(n) elementi, da F(n+1) a F(n+2)-1,
quindi la media degli elementi e` (F(n+1)+F(n+2)-1)/2 cioe`
(F(n+3)-1)/2.
Ma allora la somma degli elementi dell'ennesimo gruppo vale
S(n) = F(n)*(F(n+3)-1)/2
Esempio, il quinto gruppo (8,9,10,11,12) ha somma
S(5) = F(5)*(F(8)-1)/2 = 5*(21-1)/2 = 50