Capitolo 3  

GLI ISTANTONI

In generale, gli integrali di cammino non possono essere calcolati in modo esatto. Si ricorre perciò ad approssimazioni di varia natura.

La più diffusa è la teoria delle perturbazioni che, tramite il formalismo dei diagrammi di Feynman, permette di ottenere uno sviluppo asintotico delle ampiezze in funzione delle costanti di accoppiamento delle teorie.

Un diverso metodo, di genere non perturbativo, è dato dalla cosiddetta approssimazione semiclassica. Questo metodo fa ricorso al formalismo euclideo e ad una approssimazione del punto a sella attorno ad una soluzione classica delle equazioni del moto. Affinché il contributo di tale soluzione all'integrale di cammino sia non nullo, essa deve avere, come vedremo tra poco, azione finita.

Le soluzioni classiche localizzate ad azione finita della versione euclidea delle equazioni di campo di un certo modello, vengono dette istantoni [15]. A livello classico, gli istantoni non sono molto differenti dalle soluzioni solitoniche statiche ottenute dalla versione minkowskiana delle equazioni di campo indipendenti dal tempo. Infatti, nella maggior parte dei casi, gli istantoni di un modello in N dimensioni, sono essenzialmente equivalenti ai solitoni statici dello stesso modello in N+1 dimensioni. Tuttavia, nelle loro conseguenze sulla teoria di campo quantistica corrispondente, gli istantoni sono molto differenti dai solitoni. Mentre i secondi descrivono stati di particelle estese, i primi danno luogo a effetti di tunnelling che possono significativamente influenzare lo stato di vuoto.

Nel seguito ci occuperemo solo degli istantoni, in quanto è la fisica ad essi relativa che sarà utile per lo studio di effetti di tunnelling nell'ambito della gravità quantistica.

Consideriamo più in dettaglio la versione euclidea di una teoria; essa prevede la sostituzione della metrica di Minkowski $g^{\mu \nu}(g^{00}= - 1 \; ; \; g^{ij}= \delta^{ij})$, con la metrica euclidea $\delta ^{\mu \nu}$.

Il quadrivettore spazio-tempo $(x^{\mu})_{Min}\;(\mu =0,1,2,3)$, è sostituito da $(x^{\mu})_{Euc}\;(\mu =1,2,3,4)$. Le componenti di $(x^{\mu})_{Euc}$ sono ancora reali, ma la teoria euclidea è invariante per trasformazioni O(4) piuttosto che per trasformazioni lorentziane.

Un sistema euclideo non è equivalente ad un sistema minkowskiano riscritto in termini di differenti coordinate. Per esempio, mentre $(x^{\mu})_{Min}$ ha quattro componenti reali con $-(x^0)^2 + \mbox{\bf x}^2$ invariante, $(x^{\mu})_{Euc}$ ha ancora quattro componenti reali, ma con $\sum_{\mu =1}^4 (x^{\mu})^2$ invariante. I due sistemi sono fisicamente differenti; tuttavia è possibile pensare al sistema euclideo come alla continuazione analitica del sistema minkowskiano. Se prendiamo la coordinata tempo reale ct=x⁰ del sistema di Minkowski e consideriamo la continuazione a valori immaginari, allora:

$$(x^4)_{Euc}\equiv -i(x^0)_{Min} = -ict$$

può servire come quarta componente reale del vettore euclideo, con le restanti coordinate x¹,x²,x³ invariate.

Nello spazio minkowskiano, dove il tensore metrico ha ``segnatura'' (-+++), bisogna distinguere tra vettori controvarianti $x^{\mu}$ e vettori covarianti $x_{\mu}=g_{\mu \nu}x^{\nu}$. Nello spazio piatto euclideo, invece, dato che il tensore metrico è $g^{\mu \nu}=\delta ^{\mu \nu}$, con ``segnatura'' (++++), i vettori covarianti e controvarianti sono identici componente per componente e non è necessario distinguere tra i due.

L'azione euclidea è definita come (-i) volte la continuazione dell'azione minkowskiana:

$$I_{Euc}=-i(I_{Min})_{cont} \; .$$ (3.1)

 

Il fattore extra (-i) non influenza le equazioni classiche, ma è introdotto per convenienza nel contesto quantistico.

Come esempio, consideriamo il sistema di Klein-Gordon minkowskiano che è definito dall'azione:

$$I_{Min}=\int dx^0 \int d^3x \frac{1}{2}\left[-\left(\frac{1......\mbox{\boldmath$\nabla$ } \phi )^2 +m^2 \phi ^2 \right] \; .$$ (3.2)

 

L'equazione del moto per tale campo è, come è noto:

$$\left(\frac{1}{c^2}\frac{\partial ^2}{\partial (x^0)^2}-\mbox{\boldmath$\nabla$ } ^2 \right)\phi - m^2 \phi = 0 \; .$$ (3.3)

 

Per ottenere il corrispondente sistema euclideo, consideriamo la continuazione:

$$ct \rightarrow -ix^4 \; ;$$

perciò:

$$\int -i \, dx^4 \int d^3x \, \frac{1}{2}\left[ \left( \frac{1}{c...... (-ix^4)}\right)^2 +( \mbox{\boldmath$\nabla$ } \phi )^2 +m^2 \phi ^2 \right]$$                  I_Min =

$$i \left\{\int dx^4 \int d^3 x \, \frac{1}{2}\left[ \left( \frac{......}\right)^2 +(\mbox{\boldmath$\nabla$ } \phi )^2 +m^2 \phi ^2 \right] \right\}$$ =

$$i I_{Euc} \; ,$$ = (3.4)

 

dove:

$$I_{Euc} = \int dx^4 \int d^3 x \, \frac{1}{2}\left[ \left( ...... +(\mbox{\boldmath$\nabla$ } \phi )^2 +m^2 \phi ^2 \right]$$ (3.5)

 

è l'azione euclidea, che dà le equazioni di campo:

$$\left(\frac{1}{c^2}\frac{\partial ^2}{\partial (x^4)^2}+ \mbox{\boldmath$\nabla$ } ^2 \right)\phi - m^2 \phi = 0 \; .$$ (3.6)

 

A differenza dell'equazione di Klein-Gordon minkowskiana, che contiene un operatore differenziale di tipo iperbolico, quest'ultima contiene un operatore differenziale di tipo ellittico, che ammette un insieme differente di soluzioni non singolari reali.

I sistemi di interesse fisico, naturalmente, sono immersi nello spazio-tempo minkowskiano; ci si potrebbe quindi chiedere perché si voglia studiare un sistema fisico nella più artificiale geometria euclidea. Uno dei motivi è che alcuni aspetti delle teorie di campo quantistiche minkowskiane possono essere convenientemente esplorati a partire da soluzioni classiche della versione euclidea delle sue equazioni di campo.

Notevole tra questi aspetti è il fenomeno del tunnelling quantistico tra stati fondamentali degeneri.
 

 
1999-03-18