Per esempio, consideriamo un campo scalare neutro , funzione dei punti dello spazio-tempo x, e sia:
(2.33) |
la densità di Lagrangiana, che dipende solo dal campo e dalle sue derivate prime. Sia I(M) l'integrale d'azione, definito per una regione arbitraria M dello spazio-tempo:
(2.34) |
e imponiamo che, per una variazione del campo che si annulli sul contorno di M, l'azione abbia un valore stazionario. Come è noto, tale condizione conduce alle equazioni di Euler-Lagrange:
(2.35) |
che rappresentano le equazioni del moto per i campi.
Per quantizzare il sistema classico, descritto dalle (2.35), usando il formalismo canonico della meccanica quantistica non relativistica, è necessario introdurre variabili coniugate. Pertanto ad un istante fissato tsuddividiamo lo spazio in un reticolo di cellette uguali di volume . Approssimiamo il valore del campo nella cella con il suo valor medio all'interno della cella stessa; il sistema è quindi descritto dall'insieme discreto di coordinate generalizzate:
(2.36) |
dove l'integrazione è sulla ima cella di dimensione .
Su questo reticolo discreto, le derivate spaziali dei campi devono essere sostituite dalle differenze dei valori dei campi in due celle contigue; la Lagrangiana è perciò data da:
(2.37) |
dove è la media della derivata temporale di sulla ima cella, e è il valor medio del campo nella cella contigua.
Gli impulsi coniugati alle sono:
(2.38) |
L'Hamiltoniana del sistema discreto è allora data da:
H | = | ||
= | |||
= | (2.39) |
Al limite per , il campo coniugato a è definito da:
(2.40) |
La Lagrangiana e l'Hamiltoniana diventano:
L(t) | = | (2.41) | |
H | = | (2.42) |
dove le integrazioni sono estese a tutto lo spazio per t fissato, e la densità di Hamiltoniana è definita da:
(2.43) |
Si può quindi approssimare la teoria interpretando le coordinate e gli impulsi coniugati della approssimazione discreta, come operatori di Heisenberg, e sottoponendoli alle usuali regole di commutazione a tempi uguali che, nel limite al continuo, assumono la forma:
(2.44) |
Con queste prescrizioni è possibile estendere al formalismo della teoria dei campi la formula (2.21) ottenuta nel paragrafo precedente, che esprime l'operatore di evoluzione temporale in termini dell'integrale di cammino [13]:
(2.45) |
Nel limite al continuo, questa espressione diventa:
(2.46) |
Se, in particolare, si considera un sistema in cui la densità di Hamiltoniana sia quadratica negli impulsi coniugati, come, ad esempio, nel caso di un campo scalare neutro descritto dalla densità di Lagrangiana:
(2.47) |
si può considerare la separazione nelle variabili e , e l'elemento di matrice dell'operatore di evoluzione temporale diventa:
= | |||
= | |||
= | (2.48) |
In teoria dei campi, tutte le quantità fisiche, e in particolare i propagatori di Feynman, sono derivabili dalla ampiezza di transizione da vuoto a vuoto in presenza di sorgenti esterne [14]. Questa ampiezza, che indichiamo con W[J], può essere calcolata tramite la (2.48) aggiungendo alla Lagrangiana un termine:
(2.49) |
nel limite e ; riconsiderando l'espressione generale:
(2.50) |
Il funzionale W[J] è in generale un integrale oscillatorio e mal definito anche nell'approssimazione discreta del reticolo. Esistono due modi per risolvere questo problema: