2.1  L'integrale di Feynman in meccanica quantistica

Per focalizzare le idee principali che stanno alla base dell'integrale di cammino, consideriamo un esempio semplice: un sistema ad un grado di libertà in meccanica quantistica non relativistica [11].

Siano q e p le coordinate di posizione e di quantità di moto di una particella, a cui corrispondono gli operatori Q e P.

Nella rappresentazione delle coordinate, gli operatori hanno la forma:
 
 

$$Q=x \;\;\;\;\;\;\;\; , \;\;\;\;\;\;\;P=\frac{\hbar}{i}\frac{d}{dx} \; ;$$ (2.1)

 

i corrispondenti autostati sono esprimibili nella forma:
 
 

$$\vert q\rangle=\delta(x-q) \;\;\;\;\;\;\; , \;\;\;\;\;\;\;\; ......angle=\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}} \, e^{\frac{i}{\hbar}px} \; ;$$ (2.2)

 

questi soddisfano le equazioni agli autovalori:
 
 

$$Q\vert q\rangle=q\vert q\rangle \;\;\;\;\;\; , \;\;\;\;\;\;\;\;P\vert p\rangle=p\vert p\rangle \; .$$ (2.3)

 

Le funzioni di trasformazione dalla rappresentazione delle coordinate a quella degli impulsi e viceversa sono date da:

$$\langle p\vert q\rangle \int_{-\infty}^{\infty} dx \,\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}} \,e^{-\......{i}{\hbar}px}\delta(x-q) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}} \,e^{-\frac{i}{\hbar}pq}$$ = (2.4)

$$\langle q\vert p\rangle \langle p\vert q\rangle ^{\ast} =\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}} \, e^{\frac{i}{\hbar}pq} \; .$$ = (2.5)

 

La dinamica di un sistema in meccanica quantistica è descritta dall'operatore Hamiltoniano, che qui assumiamo, per semplicità, indipendente dal tempo, e che in generale è una funzione degli operatori di posizione e quantità di moto:
 
 

$$H=H(P,Q) \; .$$ (2.6)

 

Senza discutere il problema generale dell'ordinamento temporale, per definizione assumeremo che tutti gli operatori P siano posti alla sinistra di tutti gli operatori Q.

Con tale convenzione, l'elemento di matrice dell'Hamiltoniana tra gli stati $\vert p\rangle$ e $\vert q\rangle$, è espresso esplicitamente in termini della funzione classica Hamiltoniana E(p,q):

$$\langle p\vert H\vert q\rangle \langle p\vert E\vert q\rangle$$ =

$$\frac{1}{2\pi\hbar} \,e^{-\frac{i}{\hbar}pq}E(p,q) \; .$$ = (2.7)

 

Il nostro scopo è quello di calcolare l'operatore di evoluzione temporale:

$$U(t_i,t_f)=e^{-\frac{i}{\hbar}H(t_f-t_i)} \; .$$ (2.8)

 

Per tale motivo calcoliamo il suo elemento di matrice, cioè l'ampiezza di transizione dallo stato q_i al tempo t_i, allo stato q_f al tempo t_f:
 
 

 

$$\langle q_f\vert U(t_i,t_f)\vert q_i\rangle \langle q_{f}\vert e^{-\frac{i}{\hbar}H(t_f-t_i)}\vert q_i\rangle$$ =

$$\langle q_f,t_f\vert q_i,t_i\rangle$$ =

$$K(q_f,q_i,t_f-t_i) \; .$$ = (2.9)

 

Tale elemento di matrice è anche chiamato il nucleo (``kernel'') K dell'operatore U(t_i,t_f) nella rappresentazione in coordinate. Per piccoli t_f-t_i, è facile calcolare l'ampiezza di transizione $\langle q_f,t_f\vert q_i,t_i\rangle$. Infatti in questo caso:

$$e^{-\frac{i}{\hbar}H(t_f-t_i)}$$                    U(t_i,t_f) =

$$1 - \frac{i}{\hbar}H(t_f-t_i)+O(t_f-t_i)^2$$ =

$$\simeq 1 - \frac{i}{\hbar}H(t_f-t_i) \; ,$$ (2.10)

 

e possiamo approssimativamente scrivere:
 
 

$$\langle p\vert U(t_i,t_f)\vert q\rangle \langle p\vert e^{-\frac{i}{\hbar}H(t_f-t_i)}\vert q\rangle$$ =

$$\simeq \langle p\vert 1 - \frac{i}{\hbar}H(t_f-t_i)\vert q\rangle$$

$$\langle p\vert 1 - \frac{i}{\hbar}E(t_f-t_i)\vert q\rangle$$ =

$$\simeq \langle p\vert e^{-\frac{i}{\hbar}E(t_f-t_i)}\vert q\rangle \; .$$ (2.11)

 

L'ultima espressione ottenuta è ingannevolmente semplice. Sebbene l'operatore di evoluzione temporale contenga l'operatore Hamiltoniano in forma esponenziale, il risultato finale non contiene affatto operatori. Il punto essenziale è che per intervalli di tempo $t_f-t_i \;$ infinitesimi, abbiamo potuto mantenere nello sviluppo in serie soltanto il termine di primo ordine; ma se, per intervalli di tempo finiti, avessimo dovuto considerare anche i termini successivi dello sviluppo, la non commutatività degli operatori di posizione e quantità di moto nell'Hamiltoniana, avrebbe impedito la sostituzione di questi operatori con i corrispondenti autovalori.

Se nell'ultima espressione inseriamo un insieme completo di operatori di quantità di moto:
 
 

$$\int_{-\infty}^{\infty}dp \, \vert p\rangle \langle p\vert=1 \; ,$$ (2.12)

 

il kernel dell'operatore U(t_i,t_f) nella rappresentazione in coordinate è facilmente calcolabile:

$$\langle q_f\vert U(t_i,t_f)\vert q_i\rangle \int \langle q_f\vert p\rangle \langle p\vert U(t_i,t_f)\vert q_i\rangle dp$$ =

$$\int \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}} \, e^{\frac{i}{\hbar}pq_f}\frac{......2\pi\hbar}} \, e^{-\frac{i}{\hbar}pq_i}e^{-\frac{i}{\hbar}E(p,q_i)(t_f-t_i)}dp$$ =

$$\frac{1}{2\pi\hbar} \int e^{\frac{i}{\hbar}\left[p(q_f-q_i)-E(p,q_i)(t_f-t_i)\right]}dp \; .$$ = (2.13)

 

A questo punto si può calcolare l'ampiezza di transizione $\langle q_f,t_f\vert q_i,t_i\rangle$ per un intervallo di tempo $t_f-t_i \;$ finito. In questo caso si può procedere come segue: dividiamo l'intervallo $t_f-t_i \;$ in N parti $\Delta t$, ognuna di grandezza:

$$\Delta t = \frac{t_f-t_i}{N}$$ (2.14)

 

sufficientemente piccola da poter usare la formula precedente (2.9) per l'operatore $e^{-\frac{i}{\hbar}H(\Delta t)}$.

Figura 2.1: Un possibile cammino della particella nello spazio delle configurazioni, in un piano [q,t].

 

Possiamo allora esprimere l'operatore U(t_i,t_f) nella forma:

$$U(t_i,t_f) = e^{-\frac{i}{\hbar}H(t_f-t_i)}=e^{-\frac{i}{\hba......ta t)}=\left\{e^{-\frac{i}{\hbar}H(\Delta t)}\right\}^N \; .$$ (2.15)

 

Perciò, inserendo degli insiemi completi di stati di posizione:

$$\int_{-\infty}^{\infty}dq_k \, \vert q_k\rangle \langle q_k\vert=1\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(k=1,\ldots,N-1)$$ (2.16)

 

tra ognuno degli operatori di evoluzione temporale individuali, si ottiene:

$${\langle q_f\vert U(t_i,t_f)\vert q_i\rangle = }$$

$$= \langle q_f\vert\underbrace{e^{-\frac{i}{\hbar}H(\Delta t)}\cdots e^{-\frac{i}{\hbar}H(\Delta t)}}_{N}\vert q_i\rangle$$

$$= \int dq_{N-1} \cdots dq_1\langle q_N\vert e^{-\frac{i}{\hbar}H......rangle\langle q_{N-1}\vert e^{-\frac{i}{\hbar}H(\Delta t)}\vert q_{N-2}\rangle$$

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\cdots \times\langle q_2\ve......_1\rangle\langle q_1\vert e^{-\frac{i}{\hbar}H(\Delta t)}\vert q_0\rangle \; ,$$ (2.17)

 

dove, per chiarezza, abbiamo indicato lo stato iniziale $q_i \equiv q_0$, e lo stato finale $q_f \equiv q_N$, ed ogni integrale è calcolato tra $q_k=-\infty$ e $q_k=\infty$. Riutilizzando la relazione di completezza per gli operatori $\vert p\rangle$ - come abbiamo già fatto per il calcolo del kernel - per ognuno degli operatori di evoluzione temporale parziale, otteniamo:

$${\langle q_f\vert U(t_i,t_f)\vert q_i\rangle = }$$

$$= \int dq_{N-1} \cdots dq_1\langle q_N\vert p_N\rangle\langle p_N\vert e^{-\frac{i}{\hbar}H(\Delta t)}\vert q_{N-1}\rangle dp_N$$

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \times\langle q......angle p_{N-1}\vert e^{-\frac{i}{\hbar}H(\Delta t)}\vert q_{N-2}\rangle dp_{N-1}$$

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\cdots \times\langle q_1\ve......ngle\langle p_1\vert e^{-\frac{i}{\hbar}H(\Delta t)}\vert q_0\rangle dp_1 \; ,$$ (2.18)

 

da cui:

$${\langle q_f\vert U(t_i,t_f)\vert q_i\rangle = }$$

$$= \int dq_{N-1} \cdots dq_1 \frac{1}{2\pi\hbar}\int e^{\frac{i}{\hbar}\left[p_N(q_N-q_{N-1})-E(p_N,q_{N-1})\Delta t \right]}dp_N$$

$$\!\!\!\!\!\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\times \frac{1}{2\pi\hbar}\int e^{\frac{i}{\hbar}\left[p_{N-1}(q_{N-1}-q_{N-2})-E(p_{N-1},q_{N-2})\Delta t \right]}dp_{N-1}$$

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\cdots \times \frac{1}{2\pi\hbar}\int e^{\frac{i}{\hbar}\left[p_1(q_1-q_0)-E(p_1,q_0)\Delta t \right]}dp_1 \; ,$$ (2.19)

 

e quindi:

$${\langle q_f\vert U(t_i,t_f)\vert q_i\rangle = }$$

$$= \int e^{\frac{i}{\hbar}\left[p_N(q_N-q_{N-1})+p_{N-1}(q_{N-1}-q_{N-2})+\cdots + p_1(q_1-q_0)\right]}$$

$$\;\;\;\;\times e^{-\frac{i}{\hbar}\left[E(p_N,q_{N-1})+E(p_{N-1},q_{N-2})+\cdots +E(p_1,q_0)\right]\Delta t}$$

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\times \frac{dp_N}{2\pi\hbar} \,\frac{dp_{N-1}dq_{N-1}}{2\pi\hbar} \cdots\frac{dp_1dq_1}{2\pi\hbar} \; .$$ (2.20)

 

Al limite per $N \to \infty$ o, equivalentemente, per $\Delta t \to 0$, l'ultima espressione diventa:

 

$${\langle q_f\vert U(t_i,t_f)\vert q_i\rangle = }$$

$$= \int e^{\frac{i}{\hbar}\int_{t_i}^{t_f}\left[p(t)\dot{q}(t)-E\left(p(t),q(t)\right)\right]dt}\prod_{t}\frac{dp \, dq}{2\pi\hbar}$$

$$= \int e^{\frac{i}{\hbar}\int_{t_i}^{t_f}L[q(t),p(t),t]dt}\prod_{t}\frac{dp \, dq}{2\pi\hbar}$$

$$= \int e^{\frac{i}{\hbar}I[q(t),p(t),t]}\prod_{t}\frac{dp \, dq}{2\pi\hbar} \; ,$$ (2.21)

 

dove:

$$L[q(t),p(t),t]=p(t)\dot{q}(t)-E\left[p(t),q(t)\right)]$$ (2.22)

 

è la Lagrangiana espressa nello spazio delle fasi, e:

$$I = \int_{t_i}^{t_f}L \, dt$$ (2.23)

 

è l'azione.

Abbiamo così ottenuto il risultato principale: l'elemento di matrice dell'operatore evoluzione temporale (cioè l'ampiezza di transizione tra i due stati considerati q_i e q_f), si trova integrando il funzionale di Feynman $e^{\frac{i}{\hbar}I[q(t),p(t),t]}$, su tutte le traiettorie p(t) e q(t) nello spazio delle fasi, con valori fissi q_i e q_f agli istanti t_i e t_f rispettivamente.

Siamo così arrivati ad una espressione quantistica funzione della sola azione classica.

Feynman stesso usò una espressione leggermente differente dell'integrale di cammino. Se infatti l'Hamiltoniana è quadratica negli impulsi:

$$H(P,Q) = \frac{P^2}{2m} + V(Q) \; ,$$ (2.24)

 

allora l'integrazione sulle variabili p e q può essere effettuata esplicitamente. Se nell'integrale relativo a questo tipo di Hamiltoniana:

$$\int e^{\frac{i}{\hbar} \int_{t_i}^{t_f}\left[p\dot{q} - \f......}{2m} - V(q) \right]dt}\prod_{t}\frac{dp \, dq}{2 \pi \hbar}$$ (2.25)

 

si considera la trasformazione:

$$p(t) \rightarrow p(t) + m \, \dot{q}(t) \; ,$$ (2.26)

 

allora è possibile separare l'integrazione su p e q:

$${\langle q_f,t_f\vert q_i,t_i\rangle = }$$

$$= \int e^{\frac{i}{\hbar}\int_{t_i}^{t_f}\left [(p+m\dot{q})\dot......(p+m\dot{q})^2}{2m} - V(q)\right]dt}\prod_{t}\frac{d(p+m\dot{q})dq}{2\pi\hbar}$$

$$= \int e^{-\frac{i}{\hbar}\int_{t_i}^{t_f}\frac{p^2}{2m}dt}\pro......\hbar}\int_{t_i}^{t_f}\left[\frac{m \dot{q}^2}{2} - V(q)\right]dt}\prod_{t}dq$$

$$= \frac{1}{N} \int \prod_{t}dq \,e^{\frac{i}{\hbar} \int_{t_i}^{t_f} L \, dt}$$

$$= \int {\cal D} [q(t)] \, e^{\frac{i}{\hbar}I[q(t)]} \; ,$$ (2.27)

 

dove:

$$L=\frac{m\dot{q}^2}{2}-V(q)$$ (2.28)

 

è la Lagrangiana del sistema; la quantità:

$$\frac{1}{N}=\int e^{-\frac{i}{\hbar}\int_{t_i}^{t_f}\frac{p^2}{2m}dt}\prod_{t}\frac{dp}{2\pi\hbar}$$ (2.29)

 

è l'inverso del fattore di normalizzazione, che è ovviamente indipendente da q_i e q_f, ed è una funzione solamente dell'intervallo di tempo t_f-t_i; infine:

$${\cal D}[q(t)]=\frac{1}{N}\prod_{t}dq$$ (2.30)

 

rappresenta la misura sullo spazio di tutte le configurazioni q(t).

Quest'ultima forma dell'integrale di cammino, espressa nello spazio delle configurazioni, anche se meno generale della precedente, è quella più conosciuta, anche perché applicabile nella maggior parte dei casi. Espressa in questa forma, l'ampiezza di transizione $\langle q_f,t_f\vert q_i,t_i\rangle$ si trova considerando tutte le traiettorie nel piano [q,t], che connettono i due punti estremi. Ogni cammino q(t) dà un contributo proporzionale a $e^{\frac{i}{\hbar}I[q(t)]}$, un fattore che ha modulo unitario, e dipende dal cammino solo tramite il fattore di fase $I[q(t)]/\hbar$.

Il fatto notevole è che tutti i cammini contribuiscono all'ampiezza di transizione in ugual misura, ed è solamente la differenza dei valori dei fattori di fase per i diversi cammini che determina il comportamento di un sistema.

Il particolare cammino per cui l'azione è un estremo - $\delta I = 0$ - o, come si dice più comunemente, il cammino di minima azione, è l'unico cammino q_cl(t) che una particella segue in fisica classica. Nel caso quantistico, d'altra parte, tutte le traiettorie contribuiscono all'integrale di cammino. Ciò che rende q_cl(t) particolare, è che esso è il cammino per cui la fase è un estremo, quindi la differenza di fase tra il cammino classico e quelli vicini cambia poco rapidamente.

I cammini lontani da quello classico, non essendo in prossimità di un estremo per l'azione, hanno invece differenze di fase maggiori con quelli vicini. Perciò quando si sommano i contributi di tutti i cammini, solamente in vicinanza del cammino classico se ne trovano molti quasi in fase l'uno con l'altro, per cui si sommano costruttivamente, in modo coerente.

In situazioni per cui è $I[q(t)] \gg 1$, come nel caso classico di una particella macroscopica, le differenze di fase sono più marcate, e questo fatto porta a selezionare la sola traiettoria classica. Tuttavia, quando $I[q(t)] \approx 1$, cioè nel caso quantistico, anche i cammini lontani da quello classico possono essere ancora approssimativamente in fase, e contribuiscono tutti alla somma. In questo caso il comportamento della particella non potrà più essere adeguatamente descritto dalla fisica classica.

Il caso di un sistema con più gradi di libertà può essere trattato in modo analogo. Usando la notazione vettoriale:

$$p=(p_1,p_2,\ldots,p_n)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;q=(q^1,q^2,\ldots,q^n)$$ (2.31)

 
 
 

$$p \, \dot{q} = \sum_{i}p_i \, \dot{q}^i\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\......q}{2\pi\hbar} = \prod_{i} \, \frac{dp_i \, dq^i}{2\pi\hbar} \,$$ (2.32)

 

si possono interpretare le formule precedenti anche per il caso multidimensionale.

 
1999-03-18