4.1  L'azione gravitazionale

La teoria di Einstein non solo ci dice che lo spazio-tempo è curvo, ma specifica anche a quanto ammonta la sua curvatura.

Più precisamente, essa fornisce un insieme di equazioni di campo di estrema eleganza e compattezza, che correlano la curvatura dello spazio e del tempo con la distribuzione di materia e di energia nello spazio.

In forma covariante esse sono date da:

$$G_{\mu \nu}= C \, T_{\mu \nu} \; ,$$ (4.3)

 

dove $T_{\mu \nu}$ è il tensore energia-impulso. Tale tensore dipende dalla distribuzione di materia e di energia di campo (esclusa quella gravitazionale). Esso influenza le proprietà geometriche dello spazio - legate agli aspetti gravitazionali - che sono descritte dal tensore di Ricci:

$$G_{\mu \nu} = R_{\mu \nu} - \frac{1}{2} g_{\mu \nu} R \; ,$$ (4.4)

 

dove $g_{\mu \nu}$ è il tensore metrico, $R_{\mu \nu}$ è il tensore di curvatura di Riemann contratto $R_{\mu \nu} = R^{\alpha}_{\;\, \mu \alpha \nu}$, e $R^{\alpha}_{\;\, \mu \beta \nu}$è il tensore di curvatura di Riemann:

$$R^{\alpha}_{\;\, \mu \beta \nu} =\partial_{\beta} \Gamma^{\......u} -\Gamma^{\alpha}_{\tau \nu} \Gamma^{\tau}_{\beta \mu} \; .$$ (4.5)

 

Il tensore di Riemann dipende solo dalle componenti del tensore metrico e dalle sue derivate prime e seconde, attraverso i simboli di Christoffel del I tipo definiti da:

$$\Gamma^{\alpha}_{\beta \gamma} =\frac{1}{2} g^{\alpha \tau} ......mma}g_{\beta \tau} -\partial_{\tau}g_{\beta \gamma} \right) .$$ (4.6)

 

La traccia del tensore contratto $R_{\mu \nu}$:

$$R = R_{\mu}^{\mu} = g^{\mu \nu} R_{\mu \nu}$$

è lo scalare di curvatura.

La proporzionalità tra tensore energia-impulso e tensore di Ricci è espressa, in unità di Lorentz-Heaviside (sistema di Gauss razionalizzato), dalla costante:

$$C = - \frac{8 \pi G}{c^2} \; ,$$

dove G è la costante di gravitazione universale.

Le equazioni di campo gravitazionali possono essere facilmente espresse in una forma variazionale. Infatti, consideriamo l'azione:

$$\frac{c^2}{16 \pi G}\int d^4x \, \sqrt{-g} \, (R + L_m)$$                         I =

$$\frac{c^2}{16 \pi G}\int d^4x \, {\cal L} \; ,$$ = (4.7)

 

dove:

$${\cal L} = \sqrt{-g} \, (R + L_m)$$

è la densità di Lagrangiana. È noto che:

$$\delta \int_M d^4x \, \sqrt{-g} \, R = \int_M d^4x \,\sqrt{-g} \, G_{\mu \nu} \, \delta g^{\mu \nu}.$$ (4.8)

 

Inoltre, se:

$$\sqrt{-g} \, L_m$$

è una densità scalare che dipende dalle componenti del tensore metrico $g^{\mu \nu}$ e da eventuali altre variabili di campo (potenziali elettromagnetici, campi di velocità etc.), tale che:

$$\delta \int_M d^4x \, \sqrt{-g} \, L_m =- C \int_M d^4x \, \sqrt{-g}\, T_{\mu \nu} \, \delta g^{\mu \nu} \; ,$$ (4.9)

 

allora, la condizione che l'azione sia stazionaria per variazioni della metrica che si annullano su $\partial M$ (il contorno della regione compatta M), equivale a risolvere le equazioni di Euler-Lagrange, relative ai campi $g^{\mu \nu}$:

$$\frac{\partial {\cal L}}{\partial g^{\mu \nu}} - \partial_{\r......al L}}{\partial(\partial_{\rho}g^{\mu \nu})}\right) = 0 \; ;$$ (4.10)

 

queste portano direttamente alle equazioni di Einstein (4.3).

La variazione dell'azione I rispetto al tensore metrico non descrive però completamente il sistema fisico, ma solo i suoi aspetti gravitazionali. È però possibile scegliere l'espressione L_m in modo tale che la variazione di I rispetto alle variabili di campo addizionali associate a $T_{\mu \nu}$, dia luogo alle equazioni di campo relative a queste variabili. In questo caso il principio variazionale esteso $\delta I = 0$, dà una descrizione completa del sistema fisico.

Tuttavia, limitandosi alla sola variazione della metrica, l'azione non sarà un estremo se si hanno variazioni di $g^{\mu \nu}$ che si annullano sul contorno, ma le cui derivate normali $\partial_{\rho}g^{\mu \nu}$ non si annullano sullo stesso [21]. La ragione di ciò è che lo scalare di curvatura R contiene termini lineari nelle derivate seconde della metrica e perciò, integrando per parti, la variazione in questi termini può essere convertita in un integrale sul bordo $\partial M$ che contiene le derivate normali della metrica nel contorno.

Per eliminare questo integrale di superficie e ottenere un'azione che sia stazionaria per soluzioni delle equazioni di Einstein rispetto alle variazioni della metrica, bisogna aggiungere all'azione un termine della forma:

$$\frac{c^2}{8 \pi G} \int_{\partial M} d^3x \, \sqrt{\pm\,^3g}\, K \; ,$$ (4.11)

 

dove K è la traccia della seconda forma fondamentale ( o curvatura estrinseca [6]) del contorno, ³g è la metrica in tre dimensioni indotta sul contorno, il cui segno è positivo o negativo a seconda che il contorno sia tipo-spazio o tipo-tempo.

La necessità di aggiungere il termine di superficie alla azione nell'approccio dell'integrale di Feynman, si può vedere considerando la situazione mostrata in figura, dove si considera la transizione da una metrica ³g_i sulla superficie ³M_i alla metrica ³g_int sulla superficie ³M_int, e infine alla metrica ³g_f sulla superficie ³M_f.

 

Figura 4.1: Le metriche al contorno.

 

Si vuole che l'ampiezza dallo stato iniziale a quello finale sia ottenuta sommando su tutti gli stati sulla superficie intermedia ³M_int, cioè:

$$\langle \,\!^3g_f,\,\!^3M_f\vert\,^3g_i,\,\!^3M_i\rangle =\...... \,\!^3g_{int},\,\!^3M_{int}\vert\,^3g_i,\,\!^3M_i\rangle \, .$$ (4.12)

 

Questo sarà vero se e solo se:

$$I[g_1 + g_2] = I[g_1] + I[g_2] \; ,$$ (4.13)

 

dove g₁ è la metrica tra ³M_i e ³M_int, e g₂ è la metrica tra ³M_int e ³M_f e infine [g₁ + g₂] è la metrica sulla regione tra ³M_i e ³M_f.

Poiché la derivata normale di g₁ in ³M_int è in generale diversa da quella di g₂ in ³M_int, la metrica [g₁ + g₂] avrà una funzione $\delta$ di Dirac nel tensore di Ricci, di valore 2(K¹ - K²), dove K¹ e K² sono le seconde forme fondamentali sulla superficie ³M_int nelle metriche g₁ e g₂ rispettivamente, definite rispetto alla normale diretta nel futuro. Questo significa che la relazione (4.13) sarà vera se e solo se l'azione è data da:

$$I = \frac{c^2}{16 \pi G}\int_M d^4x \, \sqrt{-g} \, (R + L_m)......2}{ 8 \pi G}\int_{\partial M} d^3x \, \sqrt{\pm\,^3g}\, K \; .$$ (4.14)

 

 
1999-03-18