Tuttavia non dà una descrizione completamente soddisfacente dell'universo osservato, per le due seguenti ragioni:
Tentativi di quantizzare la gravità ignorando le proprietà topologiche e semplicemente tracciando diagrammi di Feynman corrispondenti a perturbazioni su uno sfondo di spazio-tempo piatto, non hanno avuto successo: sembra che ci sia una sequenza infinita di parametri di rinormalizzazione indeterminati. Il motivo è che in relatività generale classica, la teoria delle perturbazioni ha un campo limitato di validità. Per esempio, la teoria non può essere trattata come una perturbazione attorno ad uno spazio piatto.
Tuttavia sforzi in varie direzioni hanno portato a risultati parziali che sono così importanti che è difficile credere che non faranno parte di un quadro completo finale.
Il principale approccio per quantizzare la gravità è dato dall'integrale di cammino di Feynman nella formulazione euclidea [20]. Il punto di partenza per questo approccio è la generalizzazione dell' idea di Feynman secondo la quale si può rappresentare l'ampiezza di transizione:
(4.1) |
da uno stato iniziale con metrica 3gi e campi di materia su una superficie 3Mi, ad uno stato finale con una metrica 3gf e campi di materia su una superficie 3Mf, come una somma su tutte le configurazioni g e che assumono i dati valori sulle superfici al contorno 3Mi e 3Mf, cioè:
(4.2) |
Nella (4.2):
è una misura sullo spazio di tutte le configurazioni g e , e:
è l'azione dei campi.
Nella formula di sopra abbiamo implicitamente assunto o che le varietà
3Mi e 3Mf e la
regione tra esse compresa siano compatte, nel qual caso si avrebbe un universo
chiuso, o che i campi gravitazionali e di materia si annullino in modo
opportuno all'infinito spaziale, nel qual caso lo spazio sarebbe asintoticamente
piatto.