5.2.2  Equilibrio statico di buchi neri estremi multipli

I buchi neri estremi di Reissner-Nordström sono importanti anche nella generalizzazione alla teoria gravitazionale di Einstein di un sistema di particelle cariche puntiformi in equilibrio statico. Infatti, come è noto, nella teoria node0.oniana, un sistema di particelle cariche puntiformi può rimanere in equilibrio statico se le cariche Q_i sono tutte dello stesso segno e correlate alle masse M_idalla relazione:

$$\vert Q_i\vert = G^{\frac{1}{2}} \, M_i$$ (5.40)

 

(o, nelle unità usate, con G = 1: |Q_i| = M_i). Indipendentemente da come queste particelle sono disposte, se questa condizione è soddisfatta, le repulsioni elettrostatiche bilanciano esattamente le attrazioni gravitazionali.

Nel 1947 Majumdar e Papapetrou [30,31] scoprirono indipendentemente una classe di soluzioni statiche alle equazioni di Einstein-Maxwell in assenza di sorgenti, che corrispondono a questa situazione Newtoniana.

Si può verificare [32] che le geometrie di Majumdar-Papapetrou o hanno singolarità nude (eventualità non accettabile), o rappresentano l'equilibrio statico tra buchi neri estremi di Reissner-Nordström. Le sole geometrie di Majumdar-Papapetrou che rappresentano buchi neri multipli sono quelle che hanno monopoli puntiformi come sorgenti e con orizzonti dotati di topologia sferica; una soluzione per cariche magnetiche è esprimibile nella forma:

$$- V^{-2} dt^2 + V^2d\mbox{\bf x} \cdot d\mbox{\bf x}$$                            ds² = (5.41)

$$\varepsilon_{ij}^{\;\:k}\,\partial_k V \; ,$$ F_ij = (5.42)

 

dove:

$$V = \left( 1 + \sum_{n=1}^{N} \frac{M_n}{\rho_n} \right)$$ (5.43)

 

e:

$$\mbox{\bf x} = (x^1, x^2, x^3)$$

rappresenta il vettore posizione di un generico punto della sezione spaziale.

Come vedremo in seguito, la metrica estrema di Reissner-Nordström rappresenta il caso limite einsteiniano di una metrica più generale derivata dalla teoria delle corde.

 
1999-03-18