L' orbita in figura è attratta da un punto sia ne caso differenziale sia in quello discreto.

Al variare del punto iniziale può accadere che l' orbita diventi illimitata.Si può chiamare un tale punto iniziale " seme esplosivo". L'insieme dei semi esplosivi non è lo stesso nei due casi.Nel caso discreto dà origine a un frattale. il celebre insieme di Julia.

Facendo variare il parametro c , si ottiene il frattale di Mandelbrot come insiene dei punti c per i quali 0 è esplosivo.

Ecco la soluzione dell' equazione differenziale, attraverso cui è stata disegnata l' orbita differenziale:

***

La mappa di Lorenz è una data da un sistema  di tre equazioni differenziali.

E' un modello elaborato da E.Lorenz, meteorologo del MIT, negli anni 60 per descrivere l' evoluzione di fenomeni dell' atmosfera.

E' storicamente importante, perché ha dato impulso allo sviluppo della matematica del Caos e allo studio dei frattali,come forma di organizzazione del Caos deterministico.Qui ne diamo solo un cenno.

Il celebre " attrattore strano" di Lorenz e l' altrettanto celebre " effetto farfalla " hanno qui la loro origine.

Ecco le traiettorie ( per b=8/3 , s=10 , r=28 ; il punto iniziale non influisce sull' andamento qualitativo)

ATTRATTORE STRANO

Sono presenti qui almeno tre   aspetti caratteristici del caos: Effetto farfalla Determinismo Frattali

EFFETTO FARFALLA

Una perturbazione impercettibile delle condizioni iniziali può generare a drastici cambiamenti nell' evoluzione del processo

Un battito d' ali di farfalla può provocare un uragano

Il sistema può indirizzarsi verso il bacino di attrazione di sinistra o verso quello di destra.

DETERMINISMO

E' un sistema differenziale,che possiede esattamente una soluzione, se viene esattamente assegnato lo stato iniziale.

Però l' errore presente nella raccolta dei dati meteorologici ha un ordine di grandezza tale da poter avere effetti dirompenti come il battito d' ali di una farfalla.

FRATTALI

I frattali offrono un mezzo per tentare di intravedere una regola nell' apparente assenza di ordine .

Sezionando con un piano la figura tridimensionale (sezione di Poincaré), si ottiene una successione con caratteristiche frattali, come
l' autosimilarità.

***

Le mappe di Newton costituiscono un modo di generare frattali nel campo complesso.
Si riferiscono al classico metodo di Newton per la determinazione approssimata degli zeri di un polinomio, applicato a polinomi di variabile complessa.Il metodo si basa sull'approssimazione lineare di una funzione nell'intorno di un punto prescelto (sviluppo in serie di Taylor troncato al primo ordine).

f(z) = f(a) + f'(a) (z - a) + ...

Geometricamente ciò equivale a sostituire una curva con la sua tangente nelle vicinanze del punto di tangenza. La legge di ricorrenza da utilizzare è di conseguenza:

z_n+1 = z_n - f(z_n)/f'(z_n)

Ad ogni punto iniziale (seme) si dà un colore diverso, a seconda della radice cui la sequenza converge.
La rappresentazione nel piano complesso del risultato di un certo numero di iterazioni al variare del punto iniziale genera delle immagini frattali come quella riportata nella fig. sottostante ( z⁴+1=0 )Anche in questo caso l'autosimilarità è ben riconoscibile.

.

Per curiosità, ecco ciò che si ottiene applicando a questa mappa l' algoritmo di Mandelbrot-Julia.

***

Una mappa non lineare in una variabile, interessante dal punto di vista storico e didattico, è quella che traduce l' algoritmo delle frazioni continue escogitato da Bombelli per il calcolo delle radici quadrate.

La successione converge alla radice di k, -oscillando- a partire da qualsiasi valore iniziale.